Inégalité de Boole

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour tout ensemble fini ou dénombrable d'événement, la probabilité de l'un au moins des événements est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément.

Formellement, pour un ensemble dénombrable d'événements A1, A2, A3, ..., on a :

\mathrm{P}\left[\bigcup_{i} A_i\right] \leq \sum_i \mathrm{P}\left[A_i\right].

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole vient du fait qu'une mesure (et certainement toute mesure de probabilité) est σ-sous-additive.

[modifier] Inégalités de Bonferroni

L'inégalité de Boole peut être généralisée pour trouver des bornes supérieure et inférieure de la probabilité d'unions finies d'événements. Ces inégalités sont connues sous le nom d'ingalités de Bonferroni.

Posons :

S_1 := \sum_{i=1}^n \mathrm{P}(A_i),
S_2 := \sum_{i<j} \mathrm{P}(A_i \cap A_j),

et pour 2 < k ≤ n,

S_k := \sum \mathrm{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets d'entiers distincts.

Alors pour un entier impair k ≥ 1,

\mathrm{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,

et pour un entier pair k ≥ 2,

\mathrm{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

[modifier] Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

[modifier] Voir aussi

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