Hypotrochoïde

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La courbe rouge est une hypotrochoïde dessiné grâce à un cercle noir roulant à l'intérieur d'un cercle bleu d'un diamètre plus important (les paramètres sont R = 5, r = 3 et d = 5)

En géométrie, les hypotrochoïdes sont des courbes planes décrites par un point lié à un cercle mobile (C) roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0), le cercle roulant étant plus petit que le fixe. Ces courbes ont été étudiée par Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 et Bernoulli en 1725:

Le mot se compose des racines grecques hupo (au-dessous) et trokhos (la roue). Lorsque le cercle roule à l'extérieur, on a affaire à une épitrochoïde.

[modifier] Paramétrage

On pose (donc q > 1) et d = kb, avec a le rayon du cercle fixe, b celui du cercle roulant (mobile) et d la distance du point au centre du cercle mobile. Un paramétrage (donné en affixe) de l'hypotrochoïde est alors :

z = (a − b)e^it + de ^{− i(q − 1)t}

soit

qz = a((q − 1)e^it + ke ^{− i(q − 1)t})

q(x + iy) = a(q − 1)cos(t) + ia(q − 1)sin(t) + akcos((q − 1)t) − iaksin((q − 1)t)

Par identification des parties réelle et imaginaire on obtient:

qx = a(q − 1)cos(t) + kacos((q − 1)t));

qy = a(q − 1)sin(t) − kasin((q − 1)t));

avec et .

Si on pose a = R, b = r et t = θ, on obtient les formules ci-dessous:

le paramètre d'angle θ variant de 0 à 2π.

Les hypocycloïdes représentent le cas particulier d = r (le point fixe est sur le cercle) et les ellipses le cas R = 2r.

[modifier] Définition de la surface, texture et tracé pour Mathematica 5.2

Quelques figures obtenues grâce à Mathematica.

[modifier] Paramétrage de la surface

On introduit un deuxième paramètre de la façon suivante :

x = sin(v)(a((1 − 1 / q)cos(u) + (k / q)cos(q − 1)u));

y = sin(v)(a((1 − 1 / q)sin(u) − (k / q)sin((q − 1)u));

z = ccos(v);

hupoTrokhosDisq[a_, c_, k_, q_][u_, v_] =

   {Sin[v]*(a*((1 - 1/q)*Cos[u] + (k/q)*Cos[(q - 1)*u])),
     Sin[v]*(a*((1 - 1/q)*Sin[u] - (k/q)*Sin[(q - 1)*u])),
     c*Cos[v]};

Paramétrage de la surface (avec texture)

[modifier] Paramétrage de la texture

hupoTrokhosDisque[a_, c_, k_, q_][u_, v_] =

    Module[
       {red, purple},
       Append[
       hupoTrokhosDisq[a, c, k, q][u, v],{RGBColor[red = 
       Abs[Sin[q*u]],purple = Abs[Sin[20*v]], 
         1 - red*purple],EdgeForm[]}]];
      

[modifier] Paramétrage du tracé

hupoTrokhosGraph[a_, c_, k_, q_][u_, v_] :=

   ParametricPlot3D[
     Evaluate[hupoTrokhosDisque[a, c, k, q][u, v]],
     {u, 0, 2Pi, Pi/80},
     {v, 0, Pi, Pi/100},
     ImageSize -> {di, di},
     Boxed -> False,
     Axes -> False,
     ViewPoint -> {0, 0, 8},
     Lighting -> False,
     Epilog -> {Text["q= ", {0.85, 0.95}], Text[q, 
     {0.95, 0.95}],Text["k= ", {0.85, 0.95}], 
     Text[k, {0.85, 0.95}]}];

GraphicsArray[Table[hupoTrokhosGraph[3,0.3, k, q][u, v], {q, 2, 9}, {k, 0.25, 2, 0.5}]];

[modifier] Voir aussi

• Épitrochoïde
• Hypocycloïde
• Spirographe

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