Épitrochoïde

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Épitrochoïde (en rouge) produite avec les paramètres R = 5 (cercle bleu), r = 1 (cercle noir) et d = 2
Épitrochoïde (en rouge) produite avec les paramètres R = 5 (cercle bleu), r = 1 (cercle noir) et d = 2

Une épitrochoïde est une courbe plane transcendante, correspondant à la trajectoire d'un point fixé à un cercle mobile qui roule sans glisser sur et autour d'un autre cercle dit directeur.

Sommaire

[modifier] Équations paramétriques

x = (R + r)\cos\theta - d\cos\left({R + r \over r}\theta\right),\,
y = (R + r)\sin\theta - d\sin\left({R + r \over r}\theta\right).\,

où R est le rayon du cercle directeur, r celui du cercle mobile, d la distance du point au centre du cercle mobile et θ le paramètre d'angle.

[modifier] Double génération

Toute épicycloïde de paramètres R, r, d est équivalente à une péritrochoïde de paramètres \begin{array}{lll}R'={d \over r}R , & r'={d \over r}(R + r) , & d' = R + r \end{array}.

Par péritrochoïde, on entend la courbe obtenue à l'aide d'un point lié à un cercle mobile roulant sans glisser autour d'un cercle directeur qu'il contient, soit une « hypotrochoïde » pour laquelle r > R.

L'enceinte du moteur Wankel représente en coupe une épitrochoïde/péritrochoïde.

[modifier] Formes particulières

  • Lorsque le point est situé sur le cercle mobile (d = r), on obtient une épicycloïde[1].
  • Quand les deux cercles sont de même rayon (R = r), l'épitrochoïde représente un limaçon de Pascal, voire une cardioïde si d = r.
  • Pour d = R + r, on obtient une rosace.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

[modifier] Notes

  1. ↑ pour d < r et d > r, on parle aussi d'épicycloïdes raccourcies et allongées


Exemples de courbes
Coniques (dont cercle, ellipse, parabole, hyperbole)
Cardioïde • Cissoïde • Clothoïde • Cycloïde • Épicycloïde • Hypocycloïde (astroïde, deltoïde) • Folium de Descartes

• Hypotrochoïde • Spirale (dont logarithmique, d'Archimède) • Hélice
Lemniscates (dont lemniscate de Gerono, lemniscate de Booth, lemniscate logarithmique, courbe du diable)
Trajectoire • Ovale de Cassini • Chaînette • Courbe brachistochrone
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