Formule de De Moivre
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La formule de De Moivre (en référence à Abraham de Moivre) ou formule de Moivre (voir l'article Particule (onomastique) pour une explication sur le « de ») dit que pour tout nombre réel x et pour tout nombre entier n :
- ,
ou encore (par la formule d'Euler, qui constitue une démonstration triviale beaucoup plus directe que la démonstration par récurrence ci-dessous)
- .
Cette formule est importante car elle met en relation les nombres complexes (i étant l'unité imaginaire) et la trigonométrie.
L'expression « cos(x) + i·sin(x) » est parfois abrégée en « cis x ».
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[modifier] Historique
On trouve cette formule de manière implicite dans l'oeuvre de De Moivre et Roger Cotes. Euler lui donne sa forme générale pour tout entier n vers 1750[1].
[modifier] Démonstration de la formule
Soit
Considérons trois cas.
Pour n > 0, nous procédons par récurrence.
Lorsque n = 1, la formule est vraie.
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 1 tel que la formule soit vraie. Cela signifie que
Nous avons
Nous en déduisons que la formule est vraie au rang k + 1.
D'après le principe de récurrence, il s'ensuit que la formule est vraie pour tous les entiers naturels non nuls.
Lorsque n = 0, la formule est vraie puisque cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1, et par convention z0 = 1.
Lorsque n < 0, nous considérons un entier naturel strictement positif m tel que n = − m. Ainsi
Ainsi le théorème est vrai pour tous les entiers relatifs n c.q.f.d..
[modifier] Utilisations de la formule de De Moivre
Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances n-ièmes et les racines n-ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique :
ainsi que pour obtenir les formes de cos(nx) et sin(nx) en fonction de sin(x) et cos(x).
Par exemple, pour avoir cos(2x) et sin(2x), on égale :
On a
On identifie les parties réelles et imaginaires :
- et
On obtient les formules trigonométriques de duplication.
[modifier] Références
- ↑ B. Hauchecorne, D. Suratteau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipses, 1996