Formule d'inversion de Pascal
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sommaire |
[modifier] Enoncé et démonstration
[modifier] Enoncé
Soit et deux familles d'éléments de .
si
alors
On peut étendre cette formule en remplaçant par un anneau commutatif quelconque.
[modifier] Démonstration
On démontre la formule en deux temps.
On montre d'abord le lemme :
On doit d'abord montrer que
on reprend maintenant l'expression de départ :
cette quantité vaut bien 0 d'après la formule du binôme de Newton.
Ensuite on démarre avec le membre de droite de la formule, on injecte l'hypothèse, on permute des sommations avant de conclure grâce au lemme.
D'après le lemme, tous les termes s'annulent sauf pour , il reste donc
Et on retrouve bien notre ap.
[modifier] Applications classiques
On peut se servir de cette formule en dénombrement, en particulier pour calculer le nombre de dérangements d'un ensemble fini ou le nombre de surjections d'un ensemble fini vers un autre.