Forme symplectique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En géométrie différentielle, sur un fibré vectoriel réel E\rightarrow P, une forme symplectique ω est la donnée d'une famille de formes bilinéaires non dégénérées ωx sur les fibres Ex dépendant de manière C^{\infty} du point x \in P. De manière plus rigoureuse, une forme symplectique est une section globale x\mapsto \omega_x de E^*\wedge E^*\rightarrow P qui soit en tout point non dégénérée.

Cependant, sur une variété différentielle M, une forme symplectique ω est une 2-forme différentielle non dégénérée et fermée. Plus explicitement, on impose les conditions suivantes :

  • La forme ω est non dégénérée, id est, en tout point x, la forme bilinéaire antisymétrique ωx est non dégénérée.
  • La forme ω est fermée, au sens où : dω.

En particulier, (TM,ω) est un fibré symplectique, mais la définition d'une forme symplectique ne se limite pas à cette simple propriété. La condition d'être fermée implique l'unicité locale fournie par le théorème de Darboux.

[modifier] Exemples

  • Si F\rightarrow P est un fibré vectoriel, alors il existe une forme symplectique sur le fibré vectoriel E=F\oplus F^* donnée par :
\omega\left[f_1\oplus f_1^*,f_2\oplus f_2^*\right]=f_1^*(f_2)-f_2^*(f_1)

Ce premier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

  • Si (M,ω) est une variété symplectique de dimension 2n, et que P est une sous-variété différentielle de M, alors :
    • Le fibré tangent de M se restreint en un fibré de rang 2n sur P, noté T_PM\rightarrow P. Et (TPM,ω) est un fibré symplectique.
    • Si en tout point x de P, la forme bilineaire ωx est non degeneree en restriction a l'espace tangent TxP, alors, ι * ω est une forme symplectique sur P.

[modifier] Existence

L'existence des formes symplectiques sur les varietes differentielles est une question ouverte.