Fonction polygamma

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dx}\right)^{m+1} \log\Gamma(z)

Ici,

\psi(z) =\psi^0(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\,

est la fonction digamma et \Gamma(z)\, est la fonction gamma.

Elle possède la relation de récurrence

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}\,

Elle est reliée à la fonction Zeta d'Hurwitz

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)\,

La série de Taylor au point z=1 est

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,,

qui converge pour |z|<1. Ici, \zeta(n)\, est la fonction Zeta de Riemann.

[modifier] Références

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 . Voir la section 6.4.
Autres langues