Fonction mesurable

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Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu $\mathfrak{E}$ et $\mathfrak{F}$ .

Une fonction f de E dans F sera dite fonction mesurable de $(E,\mathfrak{E})$ dans $(F,\mathfrak{F})$ si l'image réciproque de la tribu $\mathfrak{F}$ est une sous-tribu de $\mathfrak{E}$ .

[modifier] Applications à valeurs réelles

Si F est l'ensemble des réels et si $\mathfrak{F}$ est la tribu borélienne, on dira simplement que f est une fonction mesurable sur $(E,\mathfrak{E})$ .

Il suffit alors de vérifier que l'image réciproque de tout ouvert est dans $\mathfrak{E}$ .

[modifier] Propriétés de passage à la limite pour les fonctions positives

Soit E un espace mesurable et $(f_n) \;$ une suite de fonctions mesurable de E dans $\mathbb{R}_+$ alors la fonction $f \;$ définie par $f = \sup_n f_n$ l'est également.

Démonstration: on considère pour cela l'image réciproque de $]a,+\infty[ _;$ , que l'on peut écrire

$\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x\in X, f_n(x)>a\}$

on obtient une réunion dénombrable d'éléments de $\mathfrak{E}$ donc un ensemble mesurable.

Par passage au complémentaire, on conclut que l'image réciproque de [0,a] est aussi mesurable. Les intervalles de la forme [0,a[ sont réunion dénombrable des ensembles précédents et donc sont mesurable. Il en est de même pour les intervalles de la forme ]a,b[ obtenus par intersection. Or cette famille engendre la tribu. CQFD

Si les fonctions f_n de X dans $\mathbb{R}_+$ sont toutes mesurables, la fonction inf f_n l'est également, ainsi que les fonctions liminf f_n, limsup f_n.

En particulier, si la limite existe elle est mesurable.

Les démonstrations sont du même type.