Image réciproque

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L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}.

Exemple : Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image réciproque de {a,b} par f est f − 1({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition, f-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par f-1.

[modifier] Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B)) \subset B.
\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}
  • pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}
  • pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille \left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)

Nous disons en général qu' « avec l'image réciproque tout est possible ».

[modifier] Voir aussi