Fonction maximale de Hardy-Littlewood

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur mathématiques $M$ qui associe une fonction intégrable $f\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$ à une autre fonction $M f$ , cette fonction $M f$ est définie en chaque point $x\in\mathbb{R}^n$ comme étant la plus grande valeur moyenne possible de $f$ sur les [boules centrées en $x$ . La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood dans Acta Mathematica.

Sommaire

1 Définition
2 Propriété
3 Inégalité maximale de Hardy-Littlewood
4 Applications
5 Généralisation au cas des mesures de Borel
6 Référence
7 Voir aussi

[modifier] Définition

À toute fonction intégrable au sens de Lebesgue $f\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$ on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood $Mf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ définie par

$Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lambda\left(B(x,r)\right)}\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t);$

où $B\left(x,r\right)$ désigne la boule de $\mathbb{R}^n$ centrée en $x$ et de rayon $r > 0$ et $λ$ désigne la mesure de Lebesgue.

[modifier] Propriété

La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction de $L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$ est semi-continue inférieurement.

Démonstration

Il suffit de montrer que pour tout réel $c$ , ${M f > c}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ .

Soit $x\in\{Mf>c\}$ alors il existe $r > 0$ et $α > c$ tels que

$\alpha \lambda\left(B(x,r)\right)=\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t).$

Puisque $α / c > 1$ on a aussi facilement l'existence d'un réel $δ > 0$ tel que

$(r+\delta)^n<r^n\frac{\alpha}{c}\quad(*).$

Nous allons montrer que $B(x,\delta)\subset\{Mf>c\}$ , soit $y\in B(x,\delta)$ , on remarque tout d'abord grâce à l'inégalité triangulaire que $B(x,r)\subset B(y,r+\delta)$ et donc que

$\int_{B(y,r+\delta)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\geq\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)=\alpha\lambda\left(B(x,r)\right)=\alpha\lambda\left(B(y,r)\right);$ car la mesure de Lebesgue est invariante par translation.

Ensuite, d'après $( * )$ , on a

$\int_{B(y,r+\delta)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\geq\alpha\left(\frac{r}{r+\delta}\right)^n \lambda\left(B(y,r+\delta)\right)> c\lambda\left(B(y,r+\delta)\right).$ .

On a donc bien $M f (y) > c$ ce qui prouve que $B(x,\delta)\subset\{Mf>c\}$ et donc que ${M f > c}$ est un ouvert d'où la semi-continuité inférieure de la fonction maximale.

[modifier] Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

Quelque soient $f\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)$ et $c > 0$ , on a

$\lambda\left(\{Mf>c\}\right)\leq\frac{3^n||f||_1}{c}.$

Démonstration

Soit $K\subset\{Mf>c\}$ un compact. Pour tout $x\in K$ il existe un rayon $r x$ tel que

$\frac{1}{\lambda\left(B(x,r_x)\right)}\int_{B(x,r_x)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)>c.$

On obtient ainsi un recouvrement du compact $K$ par les boules $\left(B(x,r_x)\right)_{x\in K}$ dont on peut extraire un sous recouvrement fini d'après la propriété de Borel-Lebesgue. À partir de ce recouvrement fini on peut à nouveau, d'après le lemme de recouvrement de Vitali, choisir des boules $\left(B(x_i,r_{x_i})\right)_{1\leq i\leq k}$ disjointes telles que

$K\subset\bigcup_{i=1}^{k}B(x_i,3r_i).$

On a alors:

$\lambda\left(K\right)\leq\lambda\left(\bigcup_{i=1}^{k}B(x_i,3r_i)\right)\leq\sum\limits_{i=1}^{k}\lambda\left(B(x_i,3r_i)\right)=3^n\sum\limits_{i=1}^{k}\lambda\left(B(x_i,r_i)\right)\leq \frac{3^n}{c}\sum\limits_{i=1}^{k}\int_{B(x,r_x)}|f(t)|\mathrm{d}\lambda(t)\leq\frac{3^n||f||_1}{c};$

car les boules sont disjointes.

La mesure de Lebesgue étant intérieurement régulière, il ne reste plus qu'à prendre la borne supérieure sur tous les compacts inclus dans l'ouvert ${M f > c}$ , ce qui achève la démonstration.

[modifier] Applications

Théorème de différenciation de Lebesgue

Théorème de Rademacher

[modifier] Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel $μ$ sur $\mathbb{R}^n$ la fonction maximale $M μ$ définie par :

$M\mu(x)=\sup_{r>0} \frac{\mu\left(B(x,r)\right)}{\lambda\left(B(x,r)\right)}.$

La propriété de semi-continuité inférieure et l'inégalité maximale sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

[modifier] Référence

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]

Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, 2ème édition, Gauthier-Villars, Paris, 1928 (ISBN 2-87647-059-4)