Filtre à réponse impulsionnelle infinie

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Le filtre à réponse impulsionnelle infinie (filtre RII) est un filtre numérique qui est caractérisé par une réponse basée sur les valeurs du signal d'entrée ainsi que les valeurs passées de la réponse. Il est nommé ainsi parce que dans la majorité des cas la réponse impulsionnelle de ce type de filtre est de durée infinie. Il est aussi désigné par l'appellation de filtre récursif.

Ce filtre est l'un des deux types de filtre numérique linéaire. L'autre type possible est le filtre à réponse impulsionelle finie (filtre RIF). Contrairement au filtre RII la réponse du filtre RIF ne dépend que des valeurs du signal d'entrée. Par conséquent, la réponse impulsionnelle d'un filtre RIF est toujours de durée finie.

La plupart des filtres analogiques peuvent également être considérés comme des filtres à réponse impulsionnelle infinie.

[modifier] Description

De façon générale le filtre à réponse impulsionnelle infinie est décrit par l'équation aux différences suivante ou x représente les valeurs du signal d'entrée et y les valeurs du signal de sorties.

$y[n] = b_0 \cdot x[n] + b_1 \cdot x[n-1] + b_2 \cdot x[n-2] + .... + b_N \cdot x[n-N] - a_1 \cdot y[n-1] - a_2 \cdot y[n-2] + .... + a_M \cdot y[n-M]$

En utilisant le symbole de sommation, l'équation peut être réécrite de la façon suivante.

$y[n] = {\sum_{k=0}^N} b_k \cdot x[n-k] - {\sum_{k=1}^M} a_k \cdot y[n-k]$

[modifier] Propriétés

Les remarques générales suivantes peuvent être portées sur les filtres RII :

Les filtres RII ne sont pas forcément stables, la stabilité dépend de la position des pôles dans le plan complexe.
La complexité d'un filtre RIF est supérieure à celle d'un filtre RII du même ordre. Cette propriété peut être un problème sur les plateformes limitées en puissance de calcul.
Généralement, les filtres RII sont plus sensibles aux erreurs de quantification que les filtres RIF. La récursivité permet de générer des erreurs cumulatives.
Un filtre RII est plus sélectif qu'un filtre RIF du même ordre. C'est-à-dire que la transition entre la bande passante et la bande rejetée est plus rapide que dans le cas du filtre RIF.

[modifier] Réalisation

Les filtres numériques peuvent être réalisés à l'aide de trois éléments ou opérations de base. Soit l'élément gain, l'élément de sommation et le retard unitaire. Ces éléments sont suffisants pour réaliser tous les filtres numériques linéaires possibles. La réalisation présentée dans la figure suivante est une réalisation directe de type 1 du filtre RII.