Extrapolation de Richardson

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En analyse numérique, le procédé d'extrapolation de Richardson est une technique d'accélération de la convergence. Il est ainsi dénommé en l'honneur de Lewis Fry Richardson, qui l'a introduit au début du XX^e siècle.

Ce procédé est notamment utilisé pour définir une méthode numérique d'intégration : la méthode de Romberg, accélération de la méthode des trapèzes.

[modifier] Présentation du principe

On suppose que la quantité inconnue A peut être approchée par une fonction A(h) avec une convergence d'ordre n en h

$A-A(h) = a_n h^n+O(h^m),~a_n\ne0,~m>n,$

expression dans laquelle le coefficient a_n n'est pas connu. Le principe d'extrapolation consiste à former

$R(h) = A(h/2) + \frac{A(h/2)-A(h)}{2^n-1} = \frac{2^n\,A(h/2)-A(h)}{2^n-1}$

qui approche A à l'ordre m>n en h.

[modifier] Formule générale et itération

On suppose que l'on dispose d'une approximation de A avec une formule d'erreur de cette forme

$A = A(h) + a_0h^{k_0} + a_1h^{k_1} + a_2h^{k_2} + \cdots a_zh^{k_z}+O(h^{k_{z+1}}),$

les coefficients étant inconnus. On se fixe un paramètre réel r>1 et on forme une combinaison entre la relation précédente et cette même relation prise au point $h / r$

$(r^{k_0}-1)A = r^{k_0}A\left(\frac{h}{r}\right) - A(h) + 0+a_1\left(\frac{r^{k_0}}{r^{k_1}}-1\right)h^{k_1}+\dots+a_z\left(\frac{r^{k_0}}{r^{k_z}}-1\right)h^{k_z} +O(h^{k_{z+1}}).$