Exponentielle intégrale

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En mathématiques, l'exponentielle intégrale Ei(x) est définie par :

\mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\, = \int_{-\infty}^{x} \frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dt\,.

Comme \tfrac1t diverge pour t=0, cette intégrale doit être comprise en terme de valeur principale de Cauchy.

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!},

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle est reliée à une autre fonction définie par :

{\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt\, = -\int_{-\infty}^{-x} \frac{e^{t}}{t}\,\mathrm dt\,

Cette fonction étend l'exponentielle intégrale au réels négatifs compte tenu de l'identité :

{\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).\,

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\frac{\mathrm dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}.

En effet, on peut écrire :

{\rm E}_1(x) \,=\, -\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)

et

{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x).