Exemples de calcul de dérivée

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La dérivée est une fonction mathématique, plus précisément une fonction de fonctions car elle prend comme argument d’entrée une fonction et renvoie une autre fonction, généralement différente.

Sommaire

[modifier] Exemples à partir de la définition du nombre dérivé

[modifier] Fonction constante

Soit c un réel.

Considérons la fonction constante f de valeur c :

\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R^*}, \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{c-c}{h} = 0

donc

\forall x\in\mathbb{R}, f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0.

Ainsi la dérivée d’une fonction constante est la fonction nulle.


[modifier] Fonction puissance énième

Démonstration :

Soit la fonction f:

f(x)=x^{n}\, définie sur {I}\,


h\not=0


\forall a\in{I},\forall {(a+h)}\in{I}\,


t(h)= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

t(h)=\frac{(a+h)^n-a^n}{h}

t(h)=\frac{(a^n+na^{n-1}h+p_3a^{n-2}h^{2}+p_4a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^n}{h}

Où les coefficients pi sont donnés par le triangle de Pascal ( p1 = 1 et p2 = n). Les an s'annulent, on simplifie par h .


t(h)=na^{n-1}+p_3a^{n-2}h+p_4a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,


Donc : f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}t(h)= na^{n-1}


NB: fonctionne pour tout n et permet de retrouver les dérivées des fonctions inverse et racines énième. Cependant si n < 2 alors la fonction n'est pas dérivable en 0.

[modifier] Fonction carré

Considérons la fonction f définie sur \mathbb{R} par

\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=x^2
\forall x\in\mathbb{R}, \forall h\in\mathbb{R}^*,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}
=\frac{(x+h-x)(x+h+x)}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h

donc

f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h)=2x

la dérivée de f est donc la fonction f’ définie par

\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)=2x.

[modifier] Fonction racine

Considérons la fonction f=√x

\forall x\in\mathbb{R}_+^*, \forall h\in\mathbb{R}^*,h>-x, \quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}
=\frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}
= \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}

donc

\forall x\in\mathbb{R}_+^*, f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}= \frac{1}{2 \sqrt{x}}

D’autre part,

\forall h\in\mathbb{R}_+^*, \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty

donc f n’est pas dérivable en 0 et la courbe représentative admet en 0 une demi tangente verticale.

[modifier] Exemples à partir des formules de dérivées

Voici une série d'exemples de dérivées calculées à partir des formules établies par la méthode avec la limite.

[modifier] Second degré

Considérons les fonctions suivantes et puis dérivons-les par la suite :

1. y=x^2+5x-3\,

2. y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,

3. y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,

Dérivées : 1. y=x^2+5x-3\,

y'=(x^2)'+(5x)'-(3)'\,

y'=2x+5+0\,

y'=2x+5\,

2. y=3x^2-9x+\frac{2}{3}\,

y'=(3x^2)'-(9x)'+(\frac{2}{3})'\,

y'=6x-9+0\,

y'=6x-9\,

3. y=-4x^2+\frac{4}{7}x-1\,

y'=(-4x^2)'+(\frac{4}{7}x)'-(1)'\,

y'=-8x+\frac{4}{7}-0\,

y'=-8x+\frac{4}{7}\,

[modifier] Troisième degré

Considérons les fonctions suivantes et dérivons-les par la suite :

1. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi} \,

2. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1 \,

3. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e \,

Dérivées :

1. y=2x^3+6x^2-4x+\frac{9}{\pi}\,

y'=(2x^3)'+(6x^2)'-(4x)'+\left ( \frac{9}{\pi} \right )'\,

y'=6x^2+12x-4+0\,

y'=2(3x^2+6x-2)\,

2. y=-x^3-5x^2+\frac{2}{3}x-1\,

y'=-(x^3)'-(5x^2)'+\left (\frac{2}{3}x\right )'-(1)'\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}-0\,

y'=-3x^2-10x+\frac{2}{3}\,

3. y=\frac{5}{17}x^3+x^2-2x+e\,

y'=\left (\frac{5}{17}x^3\right )'+(x^2)'-(2x)'+(e)'\,

y'=\frac{5\times 3x^2}{17}+2x-2+0\,

y'=\frac{15x^2}{17}+2x-2\,

[modifier] Fonction puissance réelle

Soit la fonction y :

y(x)=ax^b \qquad a\not=0,b\in\R

Alors, la dérivée n-ième de y est donnée, sur des intervalles convenables, par :

\forall n\in\N^*\qquad:\qquad y^{(n)}(x)=a\prod_{k=0}^{n-1}(b-k) \cdot x^{b-n}



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