Espace tensoriel

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Articles connexes

Modules
Algèbre extérieure

Soit E un module sur un anneau commutatif unitaire A. On appelle tenseur p fois contravariant et q fois covariant sur E tout élément du produit tensoriel \bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^*, où E * est le module dual de E.

Soit u un automorphisme du A-module E, tu est le morphisme contragrédient de E * , c'est l'automorphisme défini par {}^t u(\varphi) = \varphi \circ u. On peut définir une action du groupe linéaire GL(E) sur \bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^* par :

\begin{matrix}u \cdot x = & \underbrace{(u \otimes \cdots \otimes u} & \otimes & \underbrace{{}^t u \otimes \cdots \otimes {}^t u)}(x) \\ & p & & q \end{matrix}

On appelle espace tensoriel sur E tout sous-module H de \bigotimes_{i=1}^p E \otimes \bigotimes_{j=1}^q E^* stable par la loi externe (u,x) \mapsto u \cdot x.

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