Espace L∞

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En mathématiques, l'espace $L^\infty$ est un des espaces classiques de l'analyse fonctionnelle. Il est constitué de fonctions qui sont bornées, modulo la relation d'égalité presque partout. Il s'agit d'un espace de Banach qui vient s'ajouter à la famille des espaces L^p de fonctions dont la p-ième puissance est intégrable.

[modifier] Définition

[modifier] Borne supérieure essentielle

Soit un espace mesuré $(X, \Sigma, \mu)\,$ et $f:X \to \mathbb{R}$ une fonction à valeurs réelles sur X. Un réel a est appelé un presque majorant de f si l'ensemble

$\{x\in X: f(x)>a\}$

est de mesure nulle, c'est-à-dire si $f(x)\leq a$ pour presque tout élément x de X. Si f admet un presque majorant, on peut définir sa borne supérieure essentielle qui est le plus petit des presque majorants.

On peut définir de façon analogue la notion de borne inférieure essentielle et, bien sûr, pour une fonction bornée, les bornes et bornes essentielles sont reliées par

$\inf f \le \inf \mathrm{ess } f \le \sup \mathrm{ess } f \le \sup f$

[modifier] Fonctions essentiellement bornées

La fonction f est dite essentiellement bornée lorsque la fonction $x\mapsto |f(x)|$ possède un presque majorant. On note alors

$\|f\|_\infty = \sup \mathrm{ess } |f|$

ce qui constitue une semi-norme sur l'espace vectoriel des fonctions essentiellement bornées.

L'espace $L^\infty$ est l'espace quotient obtenu en considérant les classes d'équivalence de fonctions essentiellement bornées pour la relation d'équivalence d'égalité presque partout. Il est muni de la norme $\|\;\|_\infty$ obtenue par passage au quotient.