Borne (mathématiques)

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Sommaire

1 Définition
2 Propriété de la borne supérieure
3 Exemples
4 Notions connexes

[modifier] Définition

Dans un ensemble ordonné E, la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie majorée (resp. minorée) F de E est, s'il existe, le plus petit (resp. le plus grand) majorant (resp. minorant) de F. Elle est classiquement notée sup(F) (resp. inf(F) ).

Une partie, même majorée, d'un ensemble ordonné ne possède pas nécessairement une borne supérieure ou inférieure.

[modifier] Propriété de la borne supérieure

Un corps K possède la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de K possède une borne supérieure.

C'est notamment le cas du corps des réels.

$\mathbb Q$ ne possède pas cette propriété

Il sufit de montrer qu'on peut trouver une partie de $\mathbb Q$ qui ne possède pas de borne supérieure.

Considérons les sous-ensembles suivants : $A = \{x \in \mathbb Q _+ \;|\; x^2 < 2 \}$ et $B = \{x \in \mathbb Q _+ \;|\; x^2 > 2 \}$ .

Montrons que A ne possède pas de plus grand élément.

Pour cela, montrons que : $\forall a \in A, \exists n \in \mathbb N^* \;\ \; a + \frac 1n \in A$

$a + \frac 1n \in A \iff (a + \frac 1n)^2 < 2 \iff a^2 + \frac {2a}n + \frac 1{n^2} < 2 \iff n^2a^2 + 2an + 1 < 2n^2 \iff \frac {2a}n + \frac 1{n^2} < 2 - a^2$

Cette condition sur n utilise différentes puissances de n et n'est donc pas très pratique pour déterminer un n qui convienne.

Pour simplifier, remarquons que : $n \neq 0 \iff n^2 \ge n \iff \frac 1{n^2} \le \frac 1n \iff \frac {2a}n + \frac 1{n^2} < \frac {2a + 1}n$

Maintenant, si on trouve n tel que $\frac {2a + 1}n < 2 - a^2$ , on aura automatiquement l'inégalité recherchée : $\frac {2a}n + \frac 1{n^2} < 2 - a^2$ .

On en déduit qu'ill suffit de choisir $n > \frac {2a+1}{2-a^2}$ .

Conclusion : quelque soit l'élément de A, on peut toujours trouver un élément plus grand qui soit toujours dans A. Donc A ne possède pas de plus grand élément. Comme racine de deux n'est pas rationnel, on peut conclure que B est l'ensemble des majorants de A.

Sachant que B est l'ensemble des majorants de A, Il suffit maintenant de montrer que B ne possède pas de plus petit élément en utilisant un raisonnement équivalent.

[modifier] Exemples

Toute partie majorée non vide de l'ensemble des nombres réels possède une borne supérieure.
La borne supérieure de l'intervalle $]0,1[$ est 1.
La borne inférieure de l'intervalle $]0,1[$ est 0.
L'ensemble des nombres rationnels dont le carré est inférieur à 2 est une partie majorée de $\mathbb Q$ qui n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb Q$
La partie $\mathbb R_-$ de $\mathbb R$ ne possède pas de borne inférieure. Toutefois, considéré comme sous-ensemble de la droite achevée $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\}$ , il admet $-\infty$ comme borne inférieure.
Un treillis est un ensemble ordonné où toute paire possède une borne supérieure et une borne inférieure.