Discuter:Ensemble dénombrable

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Il semble intéressant de signaler dans le corps de l'article que si dénombrable implique infini, la réciproque est fausse, et de renvoyer à l'article sur l'argument de la diagonale, d'autant que c'est le même Cantor qui a le premier défini ce qu'est un ensemble dénombrable, et découvert l'existence d'ensembles infinis non dénombrables. Vivarés 6 novembre 2005 à 01:05 (CET)

Sommaire

[modifier] Amélioration ?

Dans l'article, on démontre que si f est définie de E vers F est surjective et E au plus dénombrable, alors F au plus dénombrable, en utilisant l'axiome du choix. Ne serait-il pas mieux de d'abord passer par \mathbb{N}, puis une composition de fonctions ?

La preuve serait alors :

Soit f : E \mapsto F surjective, E au plus dénombrable. Clairement, si E est fini, alors f(E) = F est fini, (et card(F) inférieur ou égal à card(E). Soit E infini, alors il existe g : E \mapsto \mathbb{N} bijective. Alors h = g^{-1}\circ f : \mathbb{N} \mapsto F est surjective comme composée de surjections. On considère A = \{ n \in \mathbb{N}, y \in F , n = \min(h^{-1}\{y\})\} Mq la restriction de h sur A est bijective. Cette restriction est clairement surjective (car h(A) = h(\min(h^{-1}\{y\})_{y \in F}) = h(h^{-1}\{y\}_{y \in F}) = F)

Par surjectivité de h, \min(h^{-1}\{y\})\, n'est jamais vide, et cette ensemble étant inclus dans \mathbb{N}, n est unique, dans h est injective.

Donc F est en bijection avec une partie de \mathbb{N}, et donc est au plus dénombrable. On évite le recours à l'axiome du choix par l'unicité du minimum d'une partie de N.

Cette preuve n'est pas forcément plus simple, mais évite le recours à l'axiome du choix. --Frédéric Perrin 18:57, 10 novembre 2005 (CET)

[modifier] Commentaire sur le rôle de l'axiome du choix

La remarque de Frédéric Perrin est judicieuse. On peut la reformuler ainsi :

  • L'ensemble \mathbb{N} est bien ordonné.
  • Donc l'ensemble dénombrable E peut être lui-même muni d'un bon ordre, obtenu explicitement en transportant l'ordre de \mathbb{N} au moyen d'une bijection \varphi : E \to \mathbb{N} : pour a, b éléments de E, on posera a \leq_E b ssi \varphi(a) \leq \varphi(b) dans \mathbb{N}. En langage simple, les éléments de E étant numérotés (sans oubli ni répétition), on les ordonne par l'ordre de leurs numéros.
La possibilité de définir un bon ordre sur un ensemble quelconque équivaut à l'axiome du choix, mais ici, on la prouve sans avoir besoin de cet axiome.
  • Une fois E muni de ce bon ordre, et étant donnée f : E \to F surjective, on définit une injection i : F \to E en posant, pour tout y \in F, \ i(y) = le plus petit des antécédents de y par f. Vivarés 17:04, 11 novembre 2005 (CET)
OK, j'ai modifié en conséquence l'article. Frédéric Perrin 11 novembre 2005 à 21:44 (CET)
Attention : le fait que le minimum soit unique est essentiel pour assurer que l'application g est bien définie. Mais cela n'a pas de rapport avec l'injectivité. Celle-ci résulte de ce que deux éléments différents n'ont aucun antécédent commun. Vivarés 12 novembre 2005 à 00:23 (CET)

[modifier] Partie de N

Il y a un problème avec la preuve de "Toute partie A de N est au plus dénombrable" : on ne peut pas prouver l'existence d'une suite par récurrence, éventuellement montrer qu'elle a la propriété souhaitée. L'existence résulte d'un autre théorème sur les définitions par récurrence (que je propose d'admettre dans cet article). Ce serait mieux de définir clairement fini. Proz 25 octobre 2007 à 19:33 (CEST) J'ai corrigé la partie en question, en précisant les définitions, "au plus dénombrable" n'était pas la bonne expression dans ce contexte. Proz 27 octobre 2007 à 22:42 (CEST)

[modifier] Reprise de l'article

J'ai l'intention de reprendre un peu plus sérieusement l'article. J'ai rédigé au brouillon quelque chose, qui devrait remplacer les § 1 2 et 3.5 actuels ici Utilisateur:Proz/Ensemble dénombrable. Je compte poursuivre ensuite directement sur l'article : déjà mieux séparer ce qui dépend de AC dans la suite, simplifier une ou deux démonstrations, compléter par quelques renvois sur des endroits où le dénombrable intervient. C'est volontairement que je ne reprend pas le terme "indénombrable", cité en intro, que je ne connais pas dans le sens de "infini non dénombrable". Proz (d) 5 janvier 2008 à 03:04 (CET) Je continue pour les paragraphes suivants. J'ai essayé d'éclaircir quelques présupposés (par ex. sur les ensembles finis et infinis), réorganisé, séparés du reste les résultats qui dépendent de l'axiome du choix. quelques démonstrations m'ont semblé trop détaillées (on peut encore en simplifier), d'autres sont un poil plus simples en se ramenant directement aux entiers. Enfin, j'ai évité le TeX dans le corps du texte, ce qui conduit à abandonner le "blackboard". Proz (d) 2 février 2008 à 17:55 (CET)


[modifier] Énumérable

L'article utilise souvent le verbe « énumérer », la confusion avec les ensembles (récursivement) énumérables est possible et est souvent faite, d'autant que les notion ne sont pas si éloignées. Je propose qu'une mise en garde avec un renvoi soit faite. Pierre de Lyon (d) 4 mars 2008 à 08:38 (CET)

D'autant plus d'accord que pour tout dire j'y avais pensé également, on peut même développer un peu, puisque certains des procédés donnés sont effectifs et utilisés en récursivité. Je prévois un paragraphe sur les récursivement énumérables plutôt dans la dernière partie de l'article (à écrire), après quelques remarques sur la logique (le langage est dénombrable ...). Proz (d) 4 mars 2008 à 14:12 (CET)