Dérivée seconde
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La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
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[modifier] Fonction d'une seule variable réelle
Si la fonction admet une dérivée seconde et que cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.
[modifier] Notation
Si on note ƒ(x) la fonction, alors
- la dérivée est notée ƒ '(x) ou , et
- la dérivée seconde est notée ƒ ''(x) (« f seconde de x ») ou
[modifier] Représentation graphique
La dérivée seconde indique la variation de la pente :
- si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
- si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
- si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
- si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.
[modifier] Fonction n'admettant pas de dérivée seconde
- Les fonctions non dérivables en un point n'y admettent pas de dérivée seconde ; a fortiori les fonctions non continues en un point ;
- une primitive d'une fonction continue non dérivable est une fonction continue et dérivable, mais elle n'a pas de dérivée seconde aux points où la fonction initiale n'est pas dérivable ; c'est notamment le cas de la primitive de primitive d'une fonction non continue mais bornée.
- une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn
- une primitive double d'une fonction carrée, la primitive d'une fonction triangulaire (en dents de scie) ;
- une primitive double de la fonction partie entière ∫∫E(t)·dt;
- une primitive double de la fonction partie décimale ∫∫(x-E(t))·dt ;
- une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn