Dégénérescence (mathématiques)
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En mathématiques, un cas dégénéré est un cas limite dans lequel une classe d'objet change sa nature pour appartenir à une autre classe habituellement plus simple.
Parmi de nombreux exemples, on trouve :
- Le point est un cercle dégénéré, autrement dit de rayon 0. Le cercle est lui-même une forme dégénérée d'une ellipse, autrement dit avec une excentricité égale à 0.
- La droite est une forme dégénérée d'une parabole si la parabole est située dans un plan tangent. Elle est aussi la forme dégénérée d'un rectangle, s'il a un côté de longueur 0.
- Le carré est une forme dégénérée du rectangle si celui-ci a sa longueur égale à sa largeur.
- Une hyperbole peut dégénérer en deux droites qui se croisent en un point, à travers une famille d'hyperboles ayant ces droites comme asymptotes communes.
- Un système linéaire de n équations à n inconnues à généralement une solution unique. Les cas singuliers où ce système n'a pas de solution, ou a une infinité de solutions, sont les cas où le système est dit dégénéré.
- Un ensemble contenant un seul point est un continuum dégénéré.
pour d'autres exemples.
Un autre usage du mot est utilisé pour les problèmes d'algèbre linéaire : une valeur propre dégénérée est une qui possède plus d'un vecteur propre linéairement indépendant.
[modifier] Rectangle dégénéré
Pour un sous-ensemble quelconque non vide d'indices , un rectangle dégénéré borné est un sous-ensemble de de la forme suivante :
où .
Le nombre de côtés dégénérés de est le nombre d'éléments du sous-ensemble . Ainsi, il peut y avoir seulement un "côté" dégénéré ou autant que n (dans ce cas se réduit à un point unique).
[modifier] Voir aussi
- dégénérescence
- Trivial (mathématiques)