Corps parfait

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En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables.

Les corps parfaits sont utiles pour la théorie de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable.

Les corps parfaits sont relativement fréquents, en effet, tout corps de caractéristique nulle comme ceux des nombres rationnels, des nombres réels ou des nombres complexes sont parfaits. C'est aussi le cas des corps finis.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Propriétés
- 3.1 Critère de séparabilité
- 3.2 Cas de corps parfaits
4 Voir aussi
- 4.1 Liens externes
- 4.2 Références

[modifier] Définition

Soit K un corps et L une extension algébrique de K.

Un corps K est dit parfait si et seulement si toutes ses extensions algébriques sont séparables.

Dire qu'une extension est séparable signifie que tout polynôme minimal d'un élément de L à coefficient dans K n'admet aucune racine multiple dans sa clôture algébrique.

[modifier] Exemples

Tout corps fini est parfait (cf le paragraphe propriétés).

Tout corps de caractéristique nulle est parfait. Un corps de caractéristique nulle est un corps où la somme réitérée de l'unité n'est jamais égal à zéro. Ainsi les corps des nombres rationnels et ses extensions ainsi que le corps des nombres réel est parfait (cf le paragraphe propriétés).

Cependant, tous les corps ne sont pas parfaits. Considérons $\mathbb{F}_p(X)$ le corps des fractions rationnelles sur le corps fini de cardinal p, où p est premier, et Ω sa clôture algébrique. Si K est choisi comme étant égal à l'ensemble des fractions de $\mathbb{F}_p(X^p)$ , alors K contient un polynôme non séparable. Considérons le polynôme P[X] de K[Y] égal à $Y^p-X^p\;$ . Ce polynôme possède une unique racine X qui est donc un élément algébrique de degré p. De plus ce polynôme est irréductible. On en déduit que $\mathbb{F}_p(X)$ est le corps de décomposition du polynôme P[X]. Comme X est sa seule racine, P[X] n'est pas séparable.

[modifier] Propriétés

[modifier] Critère de séparabilité

Article détaillé : Extension séparable

L'analyse des extensions séparables permet d'établir critères de séparabilité d'un polynôme.

Un polynôme est séparable si et seulement si lui et sa dérivée formelle sont premiers entre eux.

Dans le cas d'un polynôme irréductible, car particulièrement intéressant dans le cadre de la théorie de Galois, cette proposition implique le corollaire suivant :

Un polynôme irreductible est séparable si et seulement si sa dérivée formelle n'est pas nulle.

Supposons K de caractéristique p et P[X] un polynôme irreductible. Il est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q[X] dans K[X] tel que l'on ait l'égalité P[X]=Q[X^p].

Ces propositions sont démontrées dans l'article détaillé.

[modifier] Cas de corps parfaits

Si un corps est de caractéristique nulle, alors il est parfait.

Ce ne sont néanmoins pas les uniques cas où une extension est séparable. La proposition suivante donne un exemple de séparabilité indépendamment de la caractéristique :

Soit L une extension de K et M une extension de L. Alors si M est une extension de K séparable, alors M est aussi séparable sur L et L est séparable sur K.

Dans le cas où la caractéristique de K est égale à p, alors K est parfait si et seulement si tout élément de K possède une racine pième. Cette propriété s'exprime encore de la manière suivante : l'homomorphisme de Frobenius $x\mapsto x^{p}$ est surjectif.

Tout corps fini est parfait.

Démonstrations

Si un corps est de caractéristique nulle, alors il est parfait.

Soit P[X] le polynôme minimal de l un élément de L. Soit n son degré, alors le terme de degré n-1 de sa dérivée est égal à nX^n-1. Ce terme n'est nulle que si la caractéristique du corps est égal à n. Si le corps est de caractéristique nulle, alors la dérivée formelle n'est pas nulle et le polynôme minimal n'admet pas de racine multiple.

Soit L une extension de K et M une extension de L. Si M est une extension de K séparable, alors M est aussi séparable sur L et L est séparable sur K.

Soit m un élément de M et M_L[X] son polynôme minimal sur L. M_L[X] divise le polynôme minimal M_K[X]de m sur K. Soit Q[X] le polynôme de L[X] qui vérifie l'égalité M_K[X] = M_L[X] . Q[X]. Cette égalité montre que si M_K[X] n'admet pas de racine multiple, alors M_L[X] n'en admet pas non plus. Le fait que L soit séparable sur K est une évidence car L est contenu dans M.

Soit p la caractéristique de K avec p un nombre premier différent de 0. Alors K est parfait si et seulement si tout élément de K possède une racine pième.

La démonstration se trouve dans le paragraphe Polynôme et Séparabilité de l'article sur l'endomorphisme de Frobenius.