Discuter:Beth (nombre)

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Article créé essentiellement à partir de l'article anglais en:Beth number. --Epsilon0 ε₀ 17 mars 2008 à 10:13 (CET)

L'article anglais n'a aucune référence, il est très pauvre en résultats, je ne suis pas sûr que c'ait été une bonne idée de le traduire.

J'ai supprimé un certain nombre de choses qui me paraissaient fausses. en partculier les développements sur les nombres beths sans AC, je ne vois pas de façon évidente de définir ces nombres sans AC (ou alors par ensemble des parties et réunion ?). La version anglaise ne le précise pas, et on ne peut la prendre en référence (aucune source de plus).

Les cas particuliers sont à supprimer (qui ira voir ici ce genre de choses, si quelqu'un s'intéresse aux nombres beth il est au courant, et de plus cette notation n'est pas utilisée pour ces cas particuliers, ça se saurait, c'est donc trompeur). J'attends si quelqu'un veut recaser certaines choses (puissance du continu).

Source à ajouter : Thomas Jech Set Theory p 55.

Je n'ai pas de source pour la généralisation.

Le problème e cet article c'est que l'on introduit des notations mais que l'on ne sait pas à quoi elles servent, ni même où elles interviennent. Proz (d) 17 mars 2008 à 18:14 (CET)

J'avoue ne pas trop comprendre la purge, mais, . "Qu'est-ce que c'est si ce n'est pas des ordinaux?" et bien je suis d'accord que ce n'est pas clair(cardinalité de ... = ensemble à definir, = classe de bijectabilité?).

A ce qu'il me semble l'intérêt de ces nombres, que visiblement tu n'as pas vu (mais p.e. me trompe-je) est lorsque l'on n'a pas AC, tout ensemble ne peut pas être mis en bijection avec un ordinal, néanmoins la notion de taille de ces ensembles reste tout de même pertinente en tant que classe de bijectabilité. Mais ... p.e. ai-je sur-interprété en supposant que c'est à cela que servaient les nombres beth (mais p.e. n'interviennent-ils que lorsque l'on n'a pas HC).

Je n'ai pas le Jech sous le coude, est-il plus explicite?

--Epsilon0 ε₀ 17 mars 2008 à 22:07 (CET)

Dans Jech, ce sont de cardinaux = ordinaux initiaux, (définis forcément avec AC, pour pouvoir bien ordonner l'ensemble des parties à chaque étape). Les classes d'équipotences ne sont pas des ensembles. Ca suffit largement pour des développements élémentaires, mais on ne peut aller très loin, la définition inductive n'aurait pas de sens. Par ailleurs sans AC deux ensembles ne sont pas forcément comparables. Les nombres beth, ne représentent pas tous les cardinaux avec AC et sans HGC. Donc oui, tu as mal interprété. Amon avis il faut encore nettoyer, laisser une ébauche, et espérer que quelqu'un ajoute des choses intéressantes sur le sujet. Proz (d) 17 mars 2008 à 23:14 (CET)

<réaction à chaud d'avant ton dernier post que je laisse car je préfère qu'on amende plutôt que l'on reverte mes tentatives d'xposition d'un pb> Bon, je tente de mettre à plat :

• 1. Concernant les nbs Beth
  • 1.1. Sur la question "que sont-ils s'ils ne sont pas des ordinaux?".
    • 1.1.1. A ce que je vois de la déf Beth(a+1) = cardinalité de P( beth(a) ). Ce que l'on peut traduire, mais je ne pense pas que ce soit bon, par card( 2^beth(a) ), mais là on complique les choses car cela devient relatif à la définition que l'on se donne de la fonction pow (déjà sur sur les cardinaux usuels il y a différents cas, donc là cela devient in,compréhensible).
    • 1.1.2. Maintenant qu'est cette cardinalité et bien à strictement parler une classe d'équipotence, donc PAS un ensemble (comme d'ailleurs ... l'extention de toute propriété). Mais remarque que c'est exactement la même chose pour les cardinaux usuels (les aleph), ... ce n'est que par simplification de codage totalement conventionnel qu'ils sont identifiés à des ordinaux (par exemple on pourrait les définir comme les successeurs des ordinaux initiaux sans pb, de la même manière que le codage de von Neumann a pu être 0 = {vide} et non 0 = vide.
    • 1.1.3. Alors p.e. quelqu'un s'est ingénié à identifier ces classes beth par un représentant de la classe, comme il en est pour les aleph, mais c'est inessentiel en théorie (mais pas en pratique calculatoire). Donc oui, il n'y a aucune raison a priori que ce soit des ordinaux.
  • 1.2. Sur la manière dont ils sont définis précisément
    • 1.2.1. J'avoue que je ne sais pas bien et j'ai p.e. surinterprété (mais j'ai du lire ya longtemps un papier me le laissant accroire) en pensant que leur introduction sert à résoudre les pbs / non HC ou non AC (voir + bas), car sinon, comme toi, je n'y vois que "des notations mais que l'on ne sait pas à quoi elles servent".
    • 1.2.2. Note tout de même une dissymétrie dans notre appréhension du pb, pour toi cela a tellement peu d'intérêt potentiel que l'article n'a nulle nécessité à exister, tandis que pour moi, s'il est bien vrai ques ces nombres beth résolvent le pb mis en 2.", alors l'article est essentiel à préserver.
    • 1.2.3. Néanmoins nous sommes bien d'accord sur un point, il y a une absence de source à nos connaissances sur le sujet qui fait qu'il est difficile de savoir précisément comment sont académiquement définit ces nombres (s'il y a consensus! Ce qui ne me semble nullemnt évident, mais possible : nous avons tous 2 entendu parlé de cette notion que nous n'avons donc pas inventée).

• 2. Concernant HC et AC
  • 2.1. Je ne sais si c'est lié à cette notion (cf supra 1.2.) néanmoins là la question de la cardinalité comme classe d'équipotence potentiellement non cerné par les aleph se pose.
  • 2.2. Concernant HC, tu en sais autant voire plus que moi. D'ailleurs j'ai une question : dans ZFC sans HC, est-on sûr que |R est bijectable avec un ordinal? Dans le cas contraire, car les nbs beth sont basés sur P(P(... N) ...) ils ont d'emblée un intérêt .... et alors la section "cas particuliers" a bien un intérêt car elle dit que la cardinalité de P(N) est bien beth1 que l'on ait ou non HC. (or si on n'a pas HC elle n'est pas aleph1).
  • 2.3. Concernant AC, je n'ai pas envie de répéter encore et encore (comme dans d'autres pages) surtout qu'il est clair que tu le sais évidemment et le prouve pleinement en parlant de cardinalité versus équipotence (là où moins j'use souvent de "classe d'équivalence pour la bijectabilité").
    • 2.3.1 Bon on est bien d'accord (mais je vais tout de même développer lourdinguement car apparemment tu ne comprends pas ce que j'entends par "taille" d'un ensemble hors de la notion de cardinalité = ordnal initial) que si on n'a pas AC :
      • 2.3.1.1. On a pas le thm de Zermelo : tout ensemble est bien ordonnable. (puisqu'il est modulo ZF équivalent à AC)
      • 2.3.1.2. Donc on a pas que tout ensemble est bijectable avec un ordinal (vu que 1. tout ordinal est bien ordonné et 2. (thm indépendant de AC) que tout ensemble bien ordonné est isomorphe avec un unique ordinal et via bijectable avec un ordinal).
      • 2.3.1.3. Donc on n'a pas que tout ensemble est bijectable avec un ordinal et via (vu le codage usuel "nb cardinal (usuel) = nb ordinal particulier), on n'a pas que tout ensemble est bijectable avec un nombre cardinal(usuel) et via un nombre aleph.
    • 2.3.2. Ce qui veut dire que si par taille d'un ensemble on entend classe d'équipotence, alors si on a pas AC, certaines tailles d'ensembles ne sont PAS des ordinaux.
    • 2.3.3.Maintenant es-tu d'accord avec cela ou devrais-je te le réexpliquer (ce que je ne referai pas car cela me fatigue et surtout car je sais pertinement que tu le sais autant que moi [sauf un éventuel bug dans le raisonnement ci-dessus rapidement rédigé]) ?
    • 2.3.4. Ainsi, que la notion de nombre beth cerne ou non en définition sourçable (cf. encore 1.2.) cette cardinalité au sens strict d'équipotence de la hierarchie des alpha, ou non, il y a bien un gap entre ces 2 notions de cardinalité. Maintenant 2 possibilités :
      • 2.3.4.1 Je suis un génie et je viens de découvrir une distinction essentielle en cardinalité infinie, mais je ne peut le mettre sur wp car c'est du WP:TI (hypothèse grotesque)
      • 2.3.4.2. Cela est bien connu au point que l'on a envisagé les nombres de beth, ou d'autres nombres que je ne connais, pour cela.

<réaction à chaud d'avant ton dernier post que je laisse car je préfère qu'on amende plutôt que l'on reverte mes tentatives d'xposition d'un pb>

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Réaction à froid (écrit plus tard):

• Oui j'ai surinterprété le sujet (croyant qu'il était connu que les nb de beth cernaient précisément la notion d'équipotence en l'absence de AC) et en absence de source fiable je suis d'accord pour attendre que "quelqu'un ajoute des choses intéressantes sourçables (car je ne pense pas que mon interrogations soit inintéressante) sur le sujet.
• suppute (sans source) une éventuelle erreur/imprécision dans ce qu'a mis le rédacteur anglophone dans la déf inductive (et que j'ai reproduite en traduisant) :

• • beth(a+1) = 2^beth(a) doit être remplacé par : beth(a+1) = Cardinalité_au_sens_de_l'équipotence ( 2^beth(a) )

• • Ce qui expliquerait 1. ce que tu remarques "la définition inductive n'aurait pas de sens", vu que l'on sort des def formelles 2. que là on parle moins de "nombres" au sens usuels d'ensembles mais au sens de classes (tout de même l'idée initiale de Frege) et via qu'effectuer un calcul dessus relève d'un autre domaine. 3. que cela puisse (totalement/partiellement?) résoudre la question de classe d'équipotence sans AC/ordinaux initiaux.
• Bien sûr cela est une hypothèse (mais je pense pas que ces nombres beth aient été envisagés pour rien mais plutôt pour résoudre cette question (en réalité élémentaire en questionnement) de cardinalité sans AC. Ainsi :
  • J'agrée tes purges sur ce que j'ai développé pour tenter d'expliquer, car sans sources j'ai eu tort de mettre sur wp (en ne me basant sur ma mémoire vague) cette interprétation (que je répète : je crois que les nombre beth sont introduits pour répondre à la question de l'équipotence lorsqu'on n'a pas AC)
  • Pour cet article 1. J’arrête de participer 2. te fais confiance (mais je regarde ;-) ) pour autres coupes 3. Attends comme toi l'arrivé d'un meilleur que nous ou d'une source fiable pour relancer le développement de l'article.
  • Néanmoins car la notion me semble potentiellement notable et aussi fondamentale en théorie, je suis opposé à la suppression de cet article (vu aussi qu'un bon peut le développer, et au pire si le concept est daubé, sur l'histoire de ce fourvoiement!) sauf avis motivé d'un nouveau ou d'une source dirimante sur le sujet.
• Hors cet article/en attendant, cette distinction entre ces 2 notions de cardinalités (1.ordinal/2.équipotence avec mention de AC; voire de GHC) doit avoir sa place sur wp : maintenant où/dans quel article, te semble t-il le plus pertinent que nous en fassions mention (car si un jour je le fais dans un article, ça me gonflera que tu me révoques le lendemain :-) ... au lieu d'amender un sujet que tu sais bien sûr pertinent )?

Tchô (et comment celà j'ai été trop long (encore une fois)? Je développe simplement plus explicitement un propos implicite en toute collaboration wikipédienne). Bon je me sauve car je préfère les articles aux page de discusions. P.s. : vu que je n'ai le Jech sous les yeux, si tu peux/veux le faire, peux-tu mettre ce qu'il dit dans l'article?. Enfin tu n'es tenu à rien. --Epsilon0 ε₀ 21 mars 2008 à 10:39 (CET)

Je suis conscient que c'est frustrant, mais je ne vois pas comment amender quand c'est manifestement incorrect. En plus des arguments que je t'ai déjà donné , j'ajoute que dans ZF la totalité de la subpotence (comparaison par injection) est équivalente à l'axiome du choix. Il est donc vain de chercher une échelle linéaire pour les cardinaux dans une théorie sans AC. La définition que tu "supputes" ne fonctionne pas dans ZFC (et il y aurait intérêt à être précis quand on commence ce genre de choses), mais ce serait complètement inutile, parce qu'on a justement par définition un représentant par classe d'équipotence.

On ne peut pas supprimer l'article : le fait que tu l'ais créé sur des idées fausses et que tu en cherches de nouvelles qui le sont aussi (pour ta question en 2.2 : as-tu remarqué que tu y répondais en 2.3 ?), n'empêche pas que ça existe. Un article supprimé et un article non encore créé n'ont pas le même statut. Pour le développer de façon intéressante il faut évidemment aller voir la littérature (et prendre le temps de l'assimiler).

Les cardinaux particuliers, c'est typiquement du remplissage wikipedique : on ne sait pas trop à quoi ça sert, donc on écrit quelques trivialités, parce que c'est plus facile que les vrais résultats mathématiques. On a de la chance que ça s'arrête à beth_2. Tu l'importes de en, je ne vois pas l'intérêt, et de plus c'est ce qu'ils appellent ici du TI : ça laisse entendre que l'on utiliserait ces notations couramment ce qui n'est pas le cas. Il ne suffit pas que ce soit juste. Au fait as-tu vérifié le paragraphe sur la généralisation ?

Plus généralement, je ne trouve pas que ce soit une bonne idée de traduire un article qui manque de sources, d'autant plus quand il l'affiche explicitement. Ca revient à importer chez nous les problèmes de l'encyclopédie anglaise (et ils ont par ailleurs des articles qui eux mériteraient d'être traduits). Tu te fatigues à traduire quelque chose qui n'en vaut probablement pas la peine, et ensuite il faut se fatiguer à corriger. De façon générale il vaudrait mieux au moins annoncer sur une page de projet (math ou logique pour cet article) avant de traduire (sauf si tu maîtrises bien le sujet).

Fais attention à ce que la théorie des ensembles est un sujet né il y a plus d'un siècle, beaucoup de gens ont travaillé depuis, ça peut être très technique. Bref un peu de prudence s'impose. Proz (d) 22 mars 2008 à 13:13 (CET)