Axiomes des probabilités

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Dans la théorie des probabilités, une probabilité $\ P$ est une application qui à un évènement $\ A$ quelconque lié à l'expérience aléatoire $\mathcal E$ associe un nombre réel (noté $\ P(A)$ ) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés

[modifier] Premier axiome

Pour tout évènement $\ A$ :

$0 \leq P(A) \leq 1.$

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

[modifier] Deuxième axiome

$\ \Omega$ désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

$\ P(\Omega) = 1$ ,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

[modifier] Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), $A_1,\, A_2, \dots$ satisfait :

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} P(A_i)$ .

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

[modifier] Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

$P(\emptyset)=0$ .

si $\ A$ , $\ B$ sont deux évènements incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

pour tous évènements $\ A$ , $\ B$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements $\ A$ ou $\ B$ se réalise est égale à la somme des probabilités pour que $\ A$ se réalise, et pour que $\ B$ se réalise, moins la probabilité pour que $\ A$ et $\ B$ se réalisent simultanément.

pour tout évènement $\ A$ , $P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$ .

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement.