Équicontinuité

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En analyse, une famille de fonctions est dite équicontinue si toutes les fonctions sont continues et ont des variations sensiblement équivalentes sur un voisinage donné.

Par exemple, si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction, cette fonction n'est pas forcément continue (un contre-exemple est donné par la famille de fonctions définies sur [0,1] par x \mapsto x^n). Cependant, si cette suite est équicontinue, alors on peut conclure que la limite est continue.

[modifier] Définitions

Soit (f_i)_{i \in I} une famille de fonctions entre deux espaces métriques E et F.

La famille (f_i)_{i \in I} est dite équicontinue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists \eta > 0, \forall i \in I, \forall y \in E, d_E(x,y) \leq \eta \Rightarrow d_F(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

La famille (f_i)_{i \in I} est dite uniformément équicontinue si et seulement si :

\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall i \in I, \forall x \in E, \forall y \in E, d_E(x,y) \leq \eta \Rightarrow d_F(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : "les fonctions fi sont toutes continues" s'écrit :

\forall i \in I, \forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists \eta > 0, \forall y \in E, d_E(x,y) \leq \eta \Rightarrow d_F(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon

Tout dépend de l'ordre des quantificateurs, pour la continuité, η dépend de \varepsilon, x et de i. Pour l'équicontinuité, η dépend seulement de \varepsilon et de x, alors que l'hypothèse d'uniforme équicontinuité, la plus forte, ne fait dépendre le module d'équicontinuité η que de \varepsilon.

[modifier] Propriétés

  • Si (fn) est une suite de fonctions équicontinue convergeant simplement, alors la limite simple est continue. (Cette propriété est encore vraie si la suite converge simplement sur un sous-ensemble dense du domaine de définition)
  • Théorème de Heine généralisé : si une famille de fonctions définies sur un compact est équicontinue, alors elle est uniformément équicontinue.
  • Théorème d'Ascoli : Si K est un espace métrique compact, F est un espace métrique complet, une partie A de l'ensemble des fonctions continues de K dans F (muni de la norme infinie) est relativement compacte si et seulement si A est équicontinue et pour tout x \in K, l'ensemble A(x) = \{f(x) : f \in A\} est relativement compact dans F.