Théorème de Heine

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de $I = [a, b]$ dans $\mathbb R$ est uniformément continue sur $I$ .

Sommaire

1 Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques
- 1.1 Enoncé
- 1.2 Démonstration
2 Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

[modifier] Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques

[modifier] Enoncé

Soit f une fonction continue de [a,b] dans R. Elle est continue en tout point x, et nous savons donc que

$\forall x \in [a,b] \forall \epsilon > 0, \exists \alpha_{x\epsilon} > 0$ tel que $\forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_{x\epsilon} \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

Le theoreme de Heine exprime que la fonction est alors uniformement continue en $x$ sur $[a, b]$ , c'est à dire que le $α$ peut etre choisi independamment de $x$ , ce qui nous permet d'inverser les deux quantificateurs $\forall x \in [a,b] \exists \alpha_x$ en $\exists \alpha \forall x \in [a,b]$ .

La propriété d'uniforme continuité s'exprime alors :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha_\epsilon > 0 / \forall x \in [a,b] \forall x' \in [a,b] |x-x'|<\alpha_\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

[modifier] Démonstration

En prenant les definition de $α x ε$ , on considere $[a,b] \subset \cup_{x\in[ab]} \{x\} \subset \cup B(x, \alpha_{x\epsilon} / 2)$ . c'est un recouvrement de $[a, b]$ , et d'apres le Théorème de Borel-Lebesgue on peut en selectionner un nombre fini I qui recouvre aussi $[a, b]$ .

Alors, si l'on prend $x, y / |x-y| < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i}$ il existe un $x_i / x \in B(x_i, \alpha_{x_i\epsilon} /2 )$ et $|y - x_i| < d(y,x) + d(x,x_i) < \frac{1}{2} min_{i \in I} \alpha_{x_i} + \alpha_{x_i\epsilon} /2 < \alpha_{x_i\epsilon}$ et donc

$| f (x) - f (y) | < | f (x) - f (x i) | + | f (x i) - f (y) | < ε + ε$

la valeur trouvée etant bien independante de x, l'unniforme continuité est demontrée.

[modifier] Démonstration dans le cas général en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass

On se place dans le cas général de deux espaces métriques X et Y avec X compact. On note d la distance sur X et d' la distance sur Y. Le théorème de Heine nous dit alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue, ce qui s'exprime par :

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall (a,b) \in X, d(a,b)<\alpha \Rightarrow d'(f(a),f(b))<\epsilon$

Pour montrer cela, on raisonne par l'absurde en considérant f continue sur X mais non uniformément continue. Alors, on sait qu'il existe $ε > 0$ tel que pour chaque $\scriptstyle \alpha=\frac{1}{n}$ , on peut trouver deux points $a n$ et $b n$ de X avec :

$d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}$ et $d'(f(a_n),f(b_n))>\epsilon\,$ .

La suite $(a n)$ est à valeurs dans le compact X donc on peut en extraire une sous-suite convergente. On note $\phi\,$ l'extraction et $a\,$ la limite de la sous-suite. La relation $d(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})<\frac{1}{\phi(n)}$ montre que $(b φ(n))$ est aussi convergente de limite $a\,$ .