Wronskien

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Le wronskien, nommé ainsi en l'honneur de Josef Hoëné-Wronski, est le déterminant d'une famille de solutions d'une équation différentielle linéaire homogène y'=a.y. À l'aide du wronskien, il est possible de déterminer si cette famille constitue une base de l'espace des solutions.

En outre, même sans aucune information sur les solutions, l'équation d'évolution du wronskien est connue. Ceci donne une information quantitative précieuse et offre même une stratégie de résolution pour certaines équations différentielles.

Le wronskien peut être également défini pour des équations différentielles linéaires d'ordre supérieur, puisqu'on peut les ramener à l'ordre 1. Il est notamment très utile à la résolution des équations différentielles linéaires homogènes scalaires d'ordre 2 : y' '=ay'+by+c.

Sommaire

1 Wronskien pour une équation scalaire d'ordre deux
2 Définition générale pour une équation vectorielle
- 2.1 Théorème de Liouville
- 2.2 Équations scalaires d'ordre n

[modifier] Wronskien pour une équation scalaire d'ordre deux

Article détaillé : équation différentielle linéaire d'ordre deux.

Soit l'équation différentielle E: y' '=ay'+by, dite équation linéaire homogène scalaire d'ordre 2 sous forme résolue, dans laquelle a,b sont des fonctions continues.

Si x₁ et x₂ sont deux solutions de cette équation, leur wronskien est défini par

$W(t)=\begin{vmatrix}x_1(t) & x_2(t)\\ x'_1(t)&x'_2(t)\end{vmatrix} = x_1(t)x'_2(t)-x_2(t)x'_1(t)$

Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement.
L'équation est y ' ' = - ( 2 + 0,4 . cos t ) y
En bleu et en rouge sont représentées deux solutions particulières, dans l'espace des phases. L'aire du triangle formé par les deux solutions reste constante au cours du temps

Alors qu'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite de l'équation différentielle E, le wronskien peut être déterminé. Il satisfait l'équation d'évolution

W'(t) = x 1 (t) x'' 2 (t) + x' 1 (t) x' 2 (t) - x' 2 (t) x' 1 (t) - x 2 (t) x'' 1 (t) = a (t) W (t)

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre un. Le wronskien peut donc être calculé à l'aide d'une primitive A de a

W (t) = W 0 exp(A (t))

où W₀ est une constante dépendant des conditions initiales.

Le wronskien s'interprète comme une aire dans le plan (y,y') appelé espace des phases par les physiciens. Le terme a dans l'équation différentielle E est qualifié de terme d'amortissement. L'aire du triangle formé par les valeurs de deux solutions reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif.

[modifier] Définition générale pour une équation vectorielle

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie n, I un intervalle de $\mathbb{R}$ et y'=ay une équation différentielle linéaire homogène sur E, avec a continue de I dans L(E). On note S l'espace solution, qui est un espace vectoriel de dimension n par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Soit y₁,... y_n un système de n solutions de l'équation différentielle. On qualifie ce système de système fondamental de solutions quand il constitue une base de S.

On appelle wronskien de ce système le déterminant

$W(t)=\det (y_1(t),\dots, y_n(t))$

Pour le calculer précisément, il faut spécifier une base de référence.

Par l'isomorphisme de conditions initiales, le wronskien est nul en un point si et seulement si le système de solutions est lié. En conséquence, si le wronskien s'annule en un point, il s'annule en tout point.

[modifier] Théorème de Liouville

L'équation d'évolution du wronskien est

$W'(t)={\rm tr }\, a(t) W(t) \,$

Le wronskien est donc connu à une constante près

$W(t)=W_0\exp \left(\int_{t_0}^t {\rm tr } \, a(s) d s\right)$

Il apparaît notamment que le wronskien est soit toujours nul, soit jamais nul, ce qui confirme les observations du paragraphe précédent.

Connaissant n-1 solutions indépendantes de l'équation, l'expression du wronskien peut être utilisée pour en déterminer une de plus et résoudre complètement l'équation.

[modifier] Équations scalaires d'ordre n

On s'intéresse à l'équation

$y^{(n)}=a_0 y + a_1 y' + a_2 y'' + ... + a_{n-1} y^{(n-1)} \,$

où les fonctions a_i sont continues à valeurs réelles (ou complexes).

On sait que cette équation peut être ramenée à une équation du type précédent en prenant pour vecteur inconnu

$Y=\begin{pmatrix} y\\y'\\\vdots \\ y^{(n-1)}\end{pmatrix}$

Le wronskien d'un système de n solutions est alors défini par

$W(t)=\begin{vmatrix} y_1(t)& y_2(t)&\dots & y_n(t)\\ y'_1(t)& y'_2(t) & \dots & y'_n(t)\\ \vdots &\vdots &&\vdots \\ y_1^{(n-1)}(t) & y_2^{(n-1)}(t)&\dots & y_n^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}$