Ur-element

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En Théorie des ensembles un ur-element ou urelement est quelque chose qui n'est pas un ensemble mais qui peut être élément d'un ensemble. Ainsi, si U est un ur-element, et X un ensemble on ne peut avoir

X ∈ U,

mais

U ∈ X

est possible.

Ils partagent ainsi avec le seul ensemble vide le fait de ne posséder aucun élément.

Les ur-elements sont parfois appelés "atomes" ou "individus".

Sommaire 1 Intérêts des ur-elements en mathématiques appliquées 2 Théorie des ensembles avec ur-elements 3 Résultats 4 Voir aussi 5 References

[modifier] Intérêts des ur-elements en mathématiques appliquées

En théorie des ensembles usuelle tous les ensembles sont construits à partir de l'abstraction mathématique qu'est l'ensemble vide.

Néanmoins, l'application de cette théorie peut largement excéder le champ des mathématiques pures.

Si on veut prouver que tout homme résidant à Paris réside en France, on va utiliser les propriétés de la relation d'inclusion telles qu'elles sont définies en théorie des ensembles. Pourtant on ne va pas affirmer pour le prouver que tel homme (ur-element) qui vit à Paris donc en France est construit à partir de l'ensemble vide (il est plutôt en fait constitué d'atomes du monde physique).

Adjoindre à l'ontologie ensembliste des objets qui ne sont pas des ensembles permet d'étendre son application à d'autres domaines. Mais il faut bien sûr formellement s'assurer que les théorèmes acquis sur les seuls ensembles peuvent s'exporter hors de ce domaine. D'où l'intérêt d'une théorie des ensemble avec ur-elements qui peut le garantir formellement.

[modifier] Théorie des ensembles avec ur-elements

Dans la théorie des ensembles usuelle il n'y a pas d'ur-elements.

Syntaxiquement leur introduction consiste à enrichir le langage ensembliste (ne comprenant que les symboles de relation binaire d'appartenance et d'égalité) de constantes d'individus.

Les quantifications présentes dans les axiomes de la théorie des ensembles sont alors généralement relativisés aux seuls ensembles et ne s'appliquent pas aux ur-elements.

Les théories comme en:Kripke-Platek set theory with urelements qui les utilisent nécessitent néanmoins une modification de certains axiomes dont l'axiome d'extensionnalité, pour éviter que les ur-elements, qui comme l'ensemble vide n'ont aucun élément, soient identifiés à celui-ci.

Dans des axiomatiques comme la théorie des ensembles typée un ur-element est considéré comme un objet de type 0 ou appelé un "atome".

[modifier] Résultats

Il a été découvert que l'adjonction d'ur-elements au système NF de Quine, noté NFU, a des conséquences surprenantes.

• Aussi NFU tolère l'ajout de l'axiome du choix alors que ce n'est pas le cas de NF.

[modifier] Voir aussi

• Axiome d'extensionnalité#Dans une théorie des ensembles avec des ur-elements

[modifier] References

• (en) Eric W. Weisstein, {{{titre}}}, MathWorld.