Théorème des Croissances Comparées

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Le théorème des Croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de 'formes indéterminées' par la méthode usuelle.

[modifier] Énoncé des résultats

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$

$\lim_{x \to 0+} x\,ln(x) = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

[modifier] Démonstrations

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty$

On sait que (voir ci-après): $\forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2$

On a alors: $\forall x\geqslant 1, \frac{e^x}{x}\geqslant x$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

Preuve de $\forall x\geqslant 1,\ e^x\geqslant x^2$ :

Soit $\begin{align}f\ : & \ [1;+\infty]\to \mathbb{R} \\ \ & \qquad \quad x \mapsto e^x-x^2 \end{align}$

$\forall x\geqslant 1,\ f'(x)=e^x-2x \qquad f''(x)=e^x-2$

$\forall x\geqslant 1,\ e^x \geqslant 2 \quad \Rightarrow f''(x) \geqslant 0 \quad \Rightarrow f'\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f'(1)=e-2\geqslant 0 \qquad \Rightarrow f\ est\ croissante\ sur\ [1;+\infty]$

$Or\ f(1)=e-1\geqslant 0 \qquad \Rightarrow \forall x \geqslant 1,\ f(x) \geqslant 0$

D'où le résultat voulu.

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = 0$

$\lim_{x \to -\infty} x\,e^x = \lim_{x \to +\infty} -x\,e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{e^x}{-x}} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$

De la même manière, on utilise le résultat (montré par l'analyse de la fonction f(x)=ln(x)-sqrt(x) ): $\forall x\geqslant 1,\ ln(x)\leqslant \sqrt x \qquad \Rightarrow \frac{ln(x)}{x}\leqslant \frac{1}{\sqrt x}$

Par le théorème des gendarmes, on a le résultat voulu.

$\lim_{x \to 0+} x\,ln(x) = 0$

$0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x \to 0} x\,ln(1/x) = \lim_{x \to 0} -x\,ln(x)$

[modifier] Résultats généralisés

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

$\forall n\in\mathbb{R}_+,\ \lim_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0$

[modifier] Démonstrations

$\forall n\in\mathbb{R},\ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$

Si n<0, le résultat est évident. Supposons 0<n<1 $\forall x>1,\ x^n\le x\quad \Rightarrow \frac{1}{x^n}\ge \frac{1}{x}\quad \Rightarrow \frac{e^x}{x^n}\ge \frac{e^x}{x}$ d'où le résultat par le théorème des gendarmes.

Si n>1, $\forall x\geqslant 1,\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{e^{n\,x}}{x^n};\ en\ posant\ X=n\,x,\ on\ a\ {\left( \frac{e^x}{x} \right)}^n = \frac{n^n\,e^X}{X^n}$