Théorème de la moyenne

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En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle. La moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction. Plus précisément :

Énoncé — Pour toute fonction d'une variable réelle f définie et continue sur un segment [a,b], avec a<b, il existe un réel c strictement compris entre a et b vérifiant :

$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$ .

L'intégrale est ici définie soit au sens de Riemann, soit au sens de Lebesgue.

Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de $f$ est égale à celle d'un rectangle de base $[a, b]$ , et de hauteur un point moyen de la courbe. On peut démontrer le théorème de la moyenne à partir du théorème des accroissements finis.

Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples.

[modifier] Errata

Le point c ne dépend pas continûment de f. Le théorème de la moyenne, comme conséquence du théorème des accroissements finis, pose l'existence d'un réel c mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction f.
L'hypothèse de continuité est essentielle. Le résultat devient trivialement faux pour une fonction mesurable mais non continue (où l'intégrale serait définie au sens de Lebesgue).

[modifier] Preuves

[modifier] Preuve par l'absurde

Supposons par l'absurde que la moyenne de f n'est pas réalisé comme valeur de f :

$m=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm dx$ .

Comme l'image du segment [a,b] par f est connexe par arcs (théorème des valeurs intermédiaires), l'image de f est un fermé contenu soit dans (- $\infty$ ,m), soit dans (m,+ $\infty$ ) :

Dans le premier cas, le maximum de f est strictement inférieur à m, disons égal à m-r et il vient :

$\int_a^bf(x)\mathrm dx\leq (m-r)\cdot(b-a)$ ;
Dans le second cas, le minimum de f est strictement supérieur à m, disons égal à m+r et il vient :

$\int_a^bf(x)\mathrm dx\geq (m+r)\cdot(b-a)$ .