Théorème de la bijection
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Soit f une fonction continue de dans et strictement monotone sur un intervalle I. Alors la fonction f réalise une bijection de l'intervalle I sur l'intervalle .
Autrement dit l'application
est bijective.
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[modifier] Remarques
Ce théorème permet de bâtir une large famille de fonctions élémentaires essentielles à l'élaboration de la branche des mathématiques appelée analyse.
- Les fonctions définies de dans qui à associent sont les fonctions réciproques des fonctions définies de dans qui à associent .
- les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques classiques comme : sont aussi définies grâce à ce théorème.
Ce théorème n'est pas vrai sur les nombre rationnels, ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au XIXe siècle. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de Dedekind et de Cauchy qui ont fourni une construction des nombres réels.
[modifier] Utilisation pratique
Remarquons que l'application f donnée n'est pas forcément bijective. Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons
- vérifier que f est continue sur I,
- vérifier que f est strictement monotone,
- déterminer l'intervalle f(I) qui est de même type que l'intervalle I (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de f aux bornes de I, ou les valeurs que prend f aux bornes.
[modifier] Conséquence
Formulations équivalentes à cette conséquence du théorème :
- pour tout élément k de f(I), il existe un unique c de I tel que f(c) = k
- pour tout élément k de f(I), l'équation f(x) = k d'inconnue x admet une unique solution dans I.
[modifier] Démonstration
On suppose que f est strictement croissate
- Grâce au Théorème des valeurs intermédiaires, on peut montrer que J est un intervalle.
- Tout élément de possède un antécédent par dans : par définition de . ( est une fonction surjective)
- Celui-ci est unique car est strictement croissante. ( est une fonction injective)
Donc est une bijection.