Théorème de composition des limites

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Le théorème de composition des limites est un théorème de base de l'analyse réelle.

[modifier] Enoncé

Soient $f$ une application de $I$ dans $\R$ , $g$ une application de $J$ dans $\R$ où $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\R$ contenant au moins deux points et tels que $f(I) \subset J$ . Soient $a$ un point ou une extrêmité de $I$ et $l$ dans $\R \cup \{+\infty,-\infty\}$ .

On suppose que $\lim_{x \to a} f(x)=l$ et que $\lim_{x \to l} g(x)=l'$ .

Alors $\lim_{x \to a} g\circ f(x)=l'$ .

[modifier] Exemple

Calculons $\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{1}{x} \right)$ définie sur $\mathbb{R}_+$ . Le domaine d'arrivée de la fonction inverse, restreinte aux réels positifs est bien contenu dans le domaine de définition du logarithme naturel. Clairement on a $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}=0$ . On calcule donc la limite de ln à la limite trouvée précédemment : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x)=-\infty$ . Finalement, $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{1}{x} \right)=-\infty$

[modifier] Démonstration

Elle s'adapte à chaque cas (selon si $a$ ou $l$ ou $l'$ sont des extrêmités ou non, puis lesquelles). Traitons l'exemple pour $a$ réél, $l=+\infty$ et $l'=-\infty$ .

Comme $\lim_{x \to a} f(x)=+\infty$ on peut se prendre $γ$ réél puis $α > 0$ tel que pour tout $x$ de $I$ , $|x-a|<\alpha \Rightarrow f(x)>\gamma$ . Comme $a$ est un point ou une extrêmité de $I$ , il existe $x0 \in I$ tel que $| x 0 - a | < α$ , alors $f(x0) \in J >\gamma$ . Donc $\forall \gamma \in \R$ , $\exists y \in J$ tel que $y > γ$ . Donc comme $J$ est un intervalle, J est du type $[\omega,+\infty]$ .

Montrons maintenant que $\lim_{x \to a} g\circ f(x)=-\infty$ . Par la deuxième hypothèse on peut se donner $A$ un réél puis $B$ un réél tel que $\forall x \in J$ , $x>B \Rightarrow g(x)<A$ .

Soit $C$ un réél positif tel que $\forall x \in I$ , $|x-a|<C \Rightarrow f(x)>B$ . D'où $\forall x \in I$ , $|x-a|<C \Rightarrow g(f(x))<A$ , d'où le résultat.