Théorème de Tellegen

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En électricité, le Théorème de Tellegen est une conséquence directe des lois de Kirchhoff qui traduit dans ce cas particulier la conservation de l'énergie dans un circuit électrique isolé. Ce théorème doit son nom à Bernard Tellegen, un chercheur néerlandais à qui on doit notamment l'invention de la pentode, et qui le formula pour la première fois dans une publication de 1952.

[modifier] Énoncé

Si un circuit électrique quelconque possède N branches, individuellement soumises à une tension $u k$ et parcourues par un courant $i k$ mais respectant toutes ensemble la même convention générateur ou récepteur, alors:

$\sum_{k=1}^N u_k \cdot i_k =0$ , soit encore, en notation complexe: $\qquad \sum_{k=1}^N \underline{U}_k \cdot \underline{I}_k =0$ .

[modifier] Remarques

La formulation de ce théorème permet de constater qu'il ne dépend pas de l'aspect linéaire et de la constitution matérielle des circuits qui l'utilisent ou, plus généralement, de la relation de dépendance entre la tension et le courant de chacune de leurs branches. En pratique, dans un circuit donné, il suffit juste que les deux répartitions considérées, des courants d'une part et des tensions d'autre part, qu'elles soient liées entre elles ou non, obéissent respectivement à la loi des noeuds et à la loi des mailles pour y être assuré de l'applicabilité du théorème. Plus précisément, avec un circuit où les lois de Kirchhoff sont généralement respectées, s'il existe deux situations possibles où les courants et les tensions se répartissent différemment alors on a, pour la première:

$\sum_{k=1}^N u_k \cdot i_k =0$ et, pour la deuxième: $\sum_{k=1}^N u'_k \cdot i'_k =0$

mais également,

$\sum_{k=1}^N u'_k \cdot i_k =0$ et $\sum_{k=1}^N u_k \cdot i'_k =0$ .

D'un point de vue physique, indépendamment du contenu d'un circuit électrique, ce théorème indique qu'un circuit respectant les lois de Kirchhoff possède un bilan de puissance qui est globalement nul. Ceci n'est que la traduction de l'assimilation du circuit électrique à un système thermodynamique isolé.

D'un point de vue mathématique, ce théorème montre que les sous-espaces vectoriels $V_i^{ }$ et $V_u^{ }$ constitués de tous les vecteurs qui satisfont les équations de Kirchhoff, pour respectivement les courants et les tensions, sont orthogonaux dans $\R_N$ .

[modifier] Preuve succincte

La validité de ce théorème est tout d'abord simple à établir, grâce à la loi des mailles, pour un circuit ne contenant qu'une maille. Lorsque le circuit est plus complexe, c’est-à-dire lorsqu'il contient plusieurs mailles, il suffit de considérer que ce montage n'est que l'agglomérat de plusieurs circuits à une seule maille pour étendre sa validité. Dans cette dernière étape, la loi des noeuds sert alors à décomposer les courants du circuit global en ceux de chacune des mailles prises individuellement.