Théorème de Stewart

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Théorème de Stewart
Théorème de Stewart

En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart est une généralisation du théorème de la médiane dûe au mathématicien Matthew Stewart dans les années 1746.

[modifier] Enoncé

Théorème — Soit p une cévienne d'un triangle ABC divisant en X le côté a en deux parties x et y. On a alors la relation suivante :

a\cdot (xy+p^{2}) = x\cdot b^{2}+y\cdot c^{2}

[modifier] Démonstration

D'après le théorème d'Al-Kashi nous avons :

\cos(\widehat{BXA})=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}
\cos(\widehat{CXA)}=\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

Puisque \widehat{BXA} et \widehat{CXA} sont supplémentaires, alors la somme de leur cosinus est nulle, d'où après somme nous obtenons :

\cos(\widehat{BXA})+ \cos(\widehat{CXA)}=\frac{x^{2}+p^{2}-c^{2}}{2xp}+\frac{y^{2}+p^{2}-b^{2}}{2yp}

\Leftrightarrow0=2yp\cdot(x^{2}+p^{2}-c^{2})+2xp\cdot(y^{2}+p^{2}-b^{2})

\Leftrightarrow2ypx^{2}+2yp^{3}+2xpy^{2}+2xp^{3}=2ypc^{2}+2xpb^{2}

\Leftrightarrow x^{2}y+yp^{2}+xy^{2}+xp^{2}=yc^{2}+xb^{2}

\Leftrightarrow a\cdot(xy+p^{2})=yc^{2}+xb^{2}

[modifier] Voir aussi