Théorème de Pick

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Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants^[1] tel que tous ses sommets soient des points de la grille ; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone et du nombre b de points du bord du polygone :

$A = i + \frac{1}{2}.b - 1\,$ .

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons i = 9 et b = 14, ainsi, l'aire est $A = 9 + \frac{1}{2}.(14) - 1 = 9 + 7 - 1 = 15\,$ (unités carrées).

Cette formule est si simple qu'elle peut être correctement utilisée par des enfants de l'école élémentaire, en dessinant des figures sur les carrés du sol ou des murs, ou en étirant des élastiques avec des chevilles.

Le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est seulement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Pour des polygones plus généraux, le "- 1" de la formule serait remplacé par " $- \chi(P)\,$ ", où $\chi(P)\,$ est la caractéristique d'Euler de P.

Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick en 1899. Il peut être généralisé en trois dimensions et plus par les polynômes d'Ehrhart. La formule se généralise aussi aux surfaces de polyèdres.

↑ c'est-à-dire des points de coordonnées entières

[modifier] Démonstration

Considérons un polygone P et un triangle T avec un coté en commun avec P. Supposons que le théorème de Pick soit vrai pour P; nous voulons montrer qu'il est vrai aussi pour le polygone PT obtenu en ajoutant T à P. Puisque P et T partagent un coté, tous les points de bord le long du coté en commun sont fusionnés avec les points intérieurs, excepté pour les deux points extrêmes du coté, qui sont fusionnés avec les points de bord. Ainsi, en appelant le nombre de points de bord en commun c, nous avons

$i_{PT} = (i_P + i_T) + (c - 2)\,$ et

$b_{PT} = (b_P + b_T) - 2(c - 2) - 2\,$ .

De ce qui précède, il suit :

$(i_P + i_T) = i_{PT} - (c - 2)\,$ et

$(b_P + b_T) = b_{PT} + 2(c - 2) + 2\,$ .

Puisque nous supposons le théorème pour P et pour T sépararément,

$A_{PT} = A_P + A_T\,$

$= i_P + \frac{1}{2}b_P - 1 + i_T + \frac{1}{2}b_T - 1\,$

$= (i_P + i_T) + \frac{1}{2}(b_P + b_T) - 2\,$

$= i_{PT} - (c - 2) + \frac{1}{2} (b_{PT} + 2(c - 2) + 2) - 2$

$= i_{PT} + \frac{1}{2}b_{PT} - 1\,$ .

Par conséquent, si le théorème est vrai pour les polygones construits à partir de n triangles, le théorème est aussi vrai pour les polygones construits à partir de n + 1 triangles. Pour finir la démonstration par récurrence, il reste à montrer que le théorème est vrai pour les triangles. La vérification dans ce cas peut être faite par étapes :

vérifier directement que la formule est correcte pour tout rectangle avec les cotés parallèles aux axes ;
vérifier à partir de ce cas qu'elle marche aussi pour les triangles droits obtenus en coupant ces rectangles par une diagonale ;
maintenant, tout triangle peut être converti en rectangle en attachant (au plus trois) tels triangles droits ; puisque la formule est correcte pour les triangles droits et pour le rectangle, elle l'est aussi pour le triangle original.

La dernière étape utilise le fait que si le théorème est vrai pour le polygone PT et pour le triangle T, alors il est vrai aussi pour P ; ceci peut être vu par un calcul très similaire à celui montré ci-dessus.

Pour démontrer, nous montrerons en premier que le théorème de Pick possède un caractère additif. Supposons que notre polygone possède plus que 3 sommets. Alors, nous pouvons le diviser en 2 polygones $P_1\,$ et $P_2\,$ tels que leur intérieur ne se réunissent pas. Les deux ont moins de sommets que P. Nous voulons que la validité du théorème de Pick soit équivalente à la validité du théorème de Pick pour $P_1\,$ et $P_2\,$ .

Notons l'aire, le nombre de points du réseau interne et le nombre de points du réseau du périmètre pour $P_k\,$ par $A_k\,$ , $I_k\,$ et $O_k\,$ , respectivement, pour k = 1, 2.