Théorème de Minkowski

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En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la géométrie des réseaux. Il relie le nombre de points du réseau contenu dans une partie convexe symétrique au volume de celle-ci. Ce resultat à été découvert par Hermann Minkowski en 1891[1] et publié en 1896 dans son livre de Géométrie des nombres[2].

Sommaire

[modifier] Énoncé

Une partie convexe de l'espace \mathbb{R}^d, symétrique par rapport à l'origine, bornée et de volume V > 2d, contient au moins un point à coordonnées entières autre que 0.

Plus généralement, on considère un réseau Γ de l'espace \mathbb{R}^d, de volume fondamental \ell. Une partie convexe de l'espace \mathbb{R}^d, symétrique par rapport à l'origine, bornée et de volume V>2^d \ell, contient au moins un point du réseau autre que 0 (par la symétrie centrale, il contient donc au moins trois points du réseau).

[modifier] Démonstration

Il suffit de prouver le deuxième énoncé. En effet soit u une application linéaire qui envoie une base du réseau Γ sur la base canonique de Rd. L'image de Γ par u est celle formée des points à coefficients entiers. Elle divise tous les volumes par \ell et conserve les caractères convexe, symétrique et borné.

Soit C l'image par u du convexe. Il contient le vecteur v de coordonnées entières (et le vecteur -v) si et seulement si :

C\cap (C+2v)\neq \emptyset

On procède par l'absurde : si C ne contient pas de point à coordonnées entières, on considère les translatés (C + 2 v), pour tous les vecteurs v de coordonnées entières et bornées par N, un entier strictement positif quelconque. Il existe (2N + 1)d convexes translatés, qui ne s'intersectent pas et représentent un volume total de (2N + 1)d V, si V désigne le volume de C. Soit δ un majorant des coordonnées des éléments de C, tous ces translatés sont inclus dans l'hypercube [-2N + δ, 2N + δ]d dont le volume est noté S. La minoration suivante de S est vérifiée :

S=(4N+2\delta)^d = 2^d(2N+\delta)^d \geq (2N+1)^dV

On en déduit l'encadrement suivant :

1<\frac{V}{2^d} \leq \left(\frac{2N+\delta}{2N+1}\right)^d

qui donne une contradiction si N est suffisamment grand.

[modifier] Applications

Ce théorème est habituellement utilisé pour démontrer deux résultats importants en théorie algébrique des nombres : le théorème des unités de Dirichlet, et la finitude du groupe des classes.

[modifier] Notes

  1. ↑ Jiri Matousek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions], p. 20
  2. ↑ Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896 ; republié par Johnson, New York, 1968

[modifier] Bibliographie