Théorème de Darboux (analyse)

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Darboux est un théorème nommé en l'honneur du mathématicien Gaston Darboux qui stipule que les fonctions dérivées de fonctions numériques à valeurs réelles vérifient la propriété des valeurs intermédiaires.

Sommaire

[modifier] Historique

Au XIXe siècle, la plupart des mathématiciens pensaient que le théorème des valeurs intermédiaires caractérisait les fonctions continues. En 1875, Gaston Darboux mit un terme à cette conviction en montrant que les fonctions dérivées vérifiaient également ce théorème, et en donnant des exemples de fonctions dont la dérivée n'était pas continue. Une telle fonction est

h:\R_+ \rightarrow \R,\ x \mapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ pour }x \neq 0,\ h(0)=0 \text{ sinon}.

[modifier] Énoncé

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I \subset \R, non vide et non réduit à un point, à valeurs réelles, et soit (a,b) \in I^2 tel que a < b. Alors pour tout y strictement compris entre f'(a) et f'(b), il existe x \in ]a,b[ tel que f'(x) = y.

Autre énoncé : Soit I \subset \R, non vide et non réduit à un point, et soit f une application définie sur I à valeurs réelles. Si f est dérivable sur I alors f'(I) est un intervalle.

[modifier] Démonstration

En reprenant les notations de l'énoncé : considérons la fonction g:[a,b] \rightarrow \R définie par

\forall x \in [a,b],\ g(x) = f(x) - xy

où y est un réel strictement compris entre f'(a) et f'(b).

La fonction g est dérivable sur l'intervalle [a,b] et

\forall x \in [a,b],\ g'(x) = f'(x) - y

En particulier, g'(a) = f'(a) − y et g'(b) = f'(b) − y, donc g'(a) < 0 et g'(b) > 0 par définition de y.

La fonction g étant dérivable sur [a,b], elle y est continue, et donc elle y admet un minimum.

La fonction g ne peut avoir un minimum en a, car sinon, on aurait, pour x \in ]a,b] :

\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \ge 0

et en prenant la limite de ce rapport quand x tend vers a, on aurait g'(a) \geq 0, ce qui est impossible.

De même, on montre que g ne peut avoir un minimum en b.

Il en résulte que ce minimum est atteint en un point x_0 \in ]a,b[. On a alors g'(x0) = 0, d'où f'(x0) = y.

[modifier] Applications

Par exemple, on peut montrer que la fonction partie entière n'admet pas de primitive sur \R grâce au théorème de Darboux.