Théorème de Cauchy (groupes)

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Soit (G,\cdot ,e) un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G.

Démonstration:
Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément ζ non neutre tel queζp = e

  • Soit E= \{(g)=(g_1,...,g_p) \in G^p,\ g_1\cdot ...\cdot g_p = e \} ,

en bijection avec Gp − 1:
[Si (g_1,\dots ,g_{p-1}) est donnée, poser g_p =(g_1\cdot \dots \cdot g_{p-1})^{-1} définit (g_1,\dots ,g_p) comme vérifiant g_1 \cdot \dots \cdot g_p =e .
Réciproquement: si (g) \in E est donnée , alors-gp valant nécessairement (g_1 \cdot \dots \cdot g_{p-1})^{-1}- elle est bien définie par (g_1 ,\dots ,g_{p-1}) .]

  • Or:(g_1,...,g_p) \in E \Rightarrow g_2\cdot...\cdot g_p \cdot g_1=e

On peut donc définir \sigma: E \rightarrow E,(g_1,...,g_p) \rightarrow (g_2,...,g_p,g_1),
qui engendre un groupe de permutations circulaires \sigma^{\mathbb N} = \{\sigma^1,\dots,\sigma^p \}\ agissant sur E via \phi: \mathbb Z_p \times E \rightarrow E,( \bar k,(g_1,\dots,g_p)) \rightarrow (g_{1+k \ modulo \ p},\dots,g_{p+k \ modulo \ p})

  • Les orbites \mathbb Z_p \cdot (g)de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E: avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est clair que 1.a + p.b = | E | = np − 1 :
  • par suite p divise a,donc a est strictement plus grand que 1:

il existe un élément (h_1,...,h_p)\in E autre que (e,\dots,e) tel que: (h_1,\dots,h_p)=(h_2,\dots,h_1)=...=(h_p,\dots,h_{p-1}) -soit: h_1=h_2=\dots=h_p
Finalement:
h_1 \cdot ... \cdot h_p= h_1 \cdot ... \cdot h_1=h_1 ^p=e \quad \square

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