Théorème de Catalan

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Le théorème de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé par le mathématicien Eugène Charles Catalan.

Ce théorème s'énonce de la façon suivante :

les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 2³ et 3²)

(une puissance d'entier est un entier naturel élevé à la puissance d'un entier naturel, comme par exemple 6⁴).

En d'autres termes, le théorème de Catalan énonce que la seule solution en nombres naturels de l'équation

x^a − y^b = 1

pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Ce résultat fut démontré par Preda Mihăilescu en avril 2002. La démonstration a été vérifiée par Yuri Bilu et fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois.

La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.

[modifier] Liens externes

• Ivars Peterson's MathTrek
• Metsänkylä, Tauno (2003). La conjecture de Catalan : un autre vieux problème diophantien résolu (en anglais), Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.
• Boéchat-Mischler (2005) La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, sur arxiv.org.

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