Théorème d'Ostrowski

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En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème nommé en l'honneur du mathématicien Alexander Ostrowski qui stipule que toute valeur absolue non triviale sur l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est équivalente soit à la valeur absolue usuelle soit à l'une des valeur absolue p-adique.

Sommaire

1 Valeur absolue
2 Théorème d'Ostrowski
- 2.1 Démonstration
  - 2.1.1 Premier cas
  - 2.1.2 Deuxième cas
3 Complétés du corps des nombres rationnels
4 Voir aussi
5 Références

[modifier] Valeur absolue

Article détaillé : Valeur absolue.

Soit $K$ un corps. Une valeur absolue (encore appelée norme de corps) sur $K$ est une application $|\cdot |$ de $K$ dans $\R_+$ vérifiant

$\forall x \in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0;$
$\forall (x,y) \in K^2,\ |x\times y|=|x|\times |y|;$
$\forall (x,y) \in K^2,\ |x+y| \leq |x|+|y|.$

Si la valeur absolue vérifie la condition

$\forall (x,y)\in K^2,\ |x+y| \leq \max(|x|,|y|);$

plus forte que la condition 3), alors la valeur absolue est dit ultramétrique.

[modifier] Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale $|\cdot|_0$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_0 = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ 1 & \mbox{si}& x \ne 0 \end{array}\right.$

[modifier] Valeur absolue usuelle

La valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_\infty = \left\{ \begin{array}{lll} x & \mbox{si} & x \ge 0 \\ -x & \mbox{si}& x <0 \end{array}\right.$

[modifier] Valeur absolue p-adique

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier $p$ , on dispose du résultat

$\forall x \in \mathbb{Q},\ \exists n \in \Z,\ \exists (a,b) \in (\Z^*)^2,\ a \wedge b \wedge p =1 \quad \mathrm{et} \quad x=p^n \frac{a}{b}$

La valeur absolue $p$ -adique $|\cdot |_p$ sur $\mathbb{Q}$ est alors définie par

$|x|_p = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ p^{-n} & \mbox{si} & x \ne 0 \end{array} \right.$

[modifier] Valeur absolue équivalente

Deux valeurs absolues $|\cdot |_1$ et $|\cdot |_2$ sur un corps $K$ sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux nombres réels $c$ et $c'$ strictement positifs tels que les deux majorations suivantes soient vérifiées.

$\forall x \in K,\ c |x|_1 \leq |x|_2 \leq c' |x|_1$

On note alors $|\cdot |_1 \sim |\cdot |_2$ . C'est une relation d'équivalence.

[modifier] Théorème d'Ostrowski

Théorème d'Ostrowski — Une valeur absolue non triviale sur $\mathbb{Q}$ est équivalente à la valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ ou à l'une des valeurs absolues $p$ -adique $|\cdot |p$ où $p$ est un nombre premier.

[modifier] Démonstration

Soit $|\cdot |$ une valeur absolue sur $\mathbb{Q}$ . Durant la démonstration, on va utiliser un lemme qui stipule que deux valeur absolue $|\cdot |_1$ et $| \cdot |_2$ sur un corps $K$ sont équivalentes si, et seulement si

$\exists s \in \R_+^*,\ \forall x \in K^*,\ |x|_1=|x|^s_2.$

Démonstration

à faire...

[modifier] Premier cas

Il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $| k | > 1$ . Comme $| 1 | = 1$ , d'après la propriété 3), on a $|k| \leq k$ et il existe $\lambda \in ]0,1]$ tel que $| | k | | = k λ$ .

Soit maintenant un $m \in \mathbb{N}$ quelconque. On peut l'écrire en base $k$ :

$m=\sum_{i=0}^n a_ik^i \quad (\text{avec}\ a_i \in \{0,1,\ldots,n-1\}\ \text{et}\ a_n \neq 0).$

On a alors $n \geq k^n$ . En remarquant que $|a_i|\leq a_i \leq k-1$ et $| k i | = | k | i$ , on a la majoration

$|m| \leq (k-1)\sum_{i=1}^n k^{i \lambda} =\frac{k-1}{k^\lambda-1} \left( k^{(n+1)\lambda}-1\right) \leq \frac{k^\lambda(k-1)}{k^\lambda-1} k^{n\lambda} \leq Cm^\alpha;$

avec $C = k λ (k - 1) / (k λ - 1)$ indépendant de $m$ .

Appliquons cette majoration à $m n$ , ce qui donne $|m|^n\leq Cm^{n \lambda}$ . Puis en prenant la racine $n$ -ième et en faisant $n \to +\infty$ , on a alors $|m| \leq m^\lambda$ . On a donc

$\frac{\log |m|}{\log m} \leq \frac{\log |k|}{\log k};$

valable pour tout $m \in \mathbb{Z}$ .

Remarquons maintenant qu'il existe $q \in \mathbb{N}$ tel que $| k q m | > 1$ , ce qui montre que l'inégalité ci-dessus est une égalité. Et ensuite en utilisant la propriété 2), et le fait que $| - 1 | = 1$ , on a $|x|=|x|_\infty^\lambda$ pour tout $x \in \mathbb{Q}$ , ce qui montre que $|\cdot |$ est équivalente à $|\cdot |_\infty$ d'après le lemme.

[modifier] Deuxième cas

Dans le cas contraire, on a $|z| \leq 1$ pour tout $z \in \mathbb{Z}$ . Par non trivialité de la valeur absolue, il existe au moins un nombre premier $p$ tel que $| p | < 1$ . Supposons par l'absurde qu'il existe un autre nombre premier $p'$ tel que $| p' | < 1$ . D'après le théorème de Bézout, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , il existe $(u_n,v_n) \in \mathbb{Z}^2$ tel que $u n p n + v n (p') n$ , ce qui implique

$1=|1|=|u_np^n+v_n(p')^n| \leq |p|^n + |p'|^n;$

ce qui est impossible quand $n$ est suffisamment grand. Il existe donc un unique nombre premier $p$ tel que $| p | < 1$ , ce qui montre que $|\cdot |$ est équivalente à la valeur absolue $p$ -adique.

[modifier] Complétés du corps des nombres rationnels

Article détaillé : Espace complet#Complété d'un espace métrique.

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complété du corps $\mathbb{Q}$ . Si on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à $\R$ . On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si on complète le corps $\mathbb{Q}$ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels: les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

Gerald J. Janusz (1996, 1997). Algebraic Number Fields, 2^nd edition, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II, 2^nd ed., W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.