Discuter:Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel

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Sommaire 1 Création 2 Choix de présentation des axiomes 3 Langage et égalité 4 NBG en théorie des catégories 5 ref. à Gödel et autre modifs récentes

[modifier] Création

Article créé à partir d'une partie de l'article classe (mathématiques). L'article anglais correspondant à celui-ci, plus complet et mieux présenté, est indiqué en lien interwiki. Proz 12 avril 2007 à 02:12 (CEST)

[modifier] Choix de présentation des axiomes

J'ai quelques doutes sur la définition de l'égalité par les classes, ça veut dire que l'on n'a pas les propriétés de l'égalité pour les formules de la théorie des classes en général. Il faut aussi faire attention à l'ordre d'utilisation des axiomes (et certains utilisent les couples donc l'extensionnalité). Par ailleurs pas d'égalité entre classes. Ca me semble plus simple d'avoir une égalité primitive (si on pense à la preuve de conservativité).

Par ailleurs, détail, l'usage usuel (dans ce contexte) des petites lettres pour les ensembles, et grandes pour les classes est tout de même plus lisible ... Proz 13 avril 2007 à 21:10 (CEST)

[modifier] Langage et égalité

[rem : je vois que certaines corrections du jour on p.e. éclaircies mes points 3 et 4. (pas encore relu) ]

Je ne connais pas NBG et je la découvre avec cet article :

• 1. Un axiome me semble excessivement fort :

"Pour toute classe, les couples dont la première composante est élément de cette classe forment eux-mêmes une classe.

Cet axiome me surprend : je suppose que F doit être relativisé aux ensembles sinon en prenant C1 = {0} on forme alors la classe C2 = { (0, C) / C classe quelconque.} et on est très proche d'une classe de toutes les classes !

le couple indique le codage de Kuratowski, qui ne peut s'appliquer qu'à des ensembles, on peut considérer que (E,F) in C_2, qui n'est pas un énoncé primitif, sous-entend tout ça, mais ceci dit, ça n'est pas clair du tout je compte réécrire.

• 2. Sinon je comprends qu'il y a eu plusieurs formulations de NBG, mais pour celle qui est ici choisie, je ne suis pas sûr de comprendre quel est précisément le langage :
  • 2.1 Il me semble que c'est une théorie 1.finie 2.du calcul des prédicats du 1er ordre 3. avec pour unique symbole non logique la relation d'appartenance.
  • 2.2. Via la notion de "classe" n'est pas primitive (comme la relation d'appartenance) mais informelle (= ce sur quoi portent les quantifications, comme la notion d'ensemble sur ZF)
  • 2.3. Et la notion d'ensemble me semble définie par "être une classe appartenant à une classe"
  • 2.4. Ainsi il me semble inexact, dans cette présentation, de dire "La théorie NBG ne peut être logiquement équivalente à la théorie ZFC, puisque son langage est plus riche". Me semble que dans cette présentation (au cas de l'égalité près, cf ci-bas) NBG est tout simplement une sur-théorie de ZFC.

au sens strict, tu as raison, ça n'est vrai que si la théorie est écrite avec deux sortes d'objet. Pour la formulation avec une sorte d'objet, c'est quand même vrai une fois ZFC traduite dans la théorie des classes, peut-être faut-il une formule de mise en garde, mais c'est quand même intuitivement la raison.

• • 2.5. Autrement dit, NBG (dans cette présentation) ne me semble pas plus parler de classes que ZFC ne parle d'ensembles, même si intuitivement, les quantifications sur ZFC correspondent aux quantifications relativisées (à Oméga) de NBG.
• 3. Quid de l'égalité (moi aussi je m'interroge)?
  • 3.1. "=" est-il un terme primitif du langage? NBG est-elle une sur-théorie de la théorie égalitaire (qui nous donnerait une notion d'égalité sur les classes)? Si ce n'est pas le cas, il y a t-il des axiomes régissant l'égalité sur les classes strictes?
  • 3.2. Concernant l'égalité sur les ensembles
  • 3.3. "Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils appartiennent aux mêmes classes." doit-il être vu comme un axiome (si "=" est un symbole primitif du langage) ou comme une définition (signe abréviateur, comme l'inclusion)?
  • 3.4. L'axiome d'extensionnalité de ZF "Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques." est-il ou non une conséquence du précèdant (j'avoue que cette question dépasse mes connaissances et que j'aimerais bien avoir la réponse :-) )?
• 4. Pour les variables, user de majuscules et minuscules me semble aussi plus lisible.
• 5. Sinon j'avoue être un peu gêné par l'utilisation de virgules après les quantifications quand elles portent sur l'ensemble du reste de la formule. Est-ce une convention que j'ignore ou le rendu que mon navigateur me renvoie des formules Latex?Pour des formules où l'on utilise plusieurs fois les même variables ou des variables libres, cette convention peut poser des pbs (mais pas ici, certes).

Cordialement, --Epsilon0 16 avril 2007 à 19:55 (CEST)

J'ai entrelardé quelques réponses (plus facile), je continue ici. La partie "axiomatique" est le reliquat de l'article classe (mathématiques), elle n'est pas bien ajustée à ce qui précède, car je l'ai très peu reprise. J'ai essayé quelques retouches, par exemple il n'y avait aucune indication sur ce qu'étaient les couples, mais je pense qu'il faut en fait la réécrire. Pour l'égalité, le choix fait était clairement de définir l'égalité. On peut faire la même chose en théorie des ensembles. Pour avoir vraiment l'égalité il faut une construction inductive à partir des prédicats atomiques (deux cas suivant "le côté" de l'appartenance), puisque tous les prédicats ne sont pas représentés par des classes. Mais pour l'axiomatique de l'article actuel, ça ne me semble pas évident que l'on puisse prouver la simple réciproque de l'extensionnalité x= y et x in z => y in z. Il faudrait, utiliser les derniers axiomes, passer par le codage des couples, dont les propriétés utilisent l'extensionnalité ... mais surtout je ne vois pas l'intérêt de compliquer et que l'on ait même à réfléchir à ce genre de choses. Il suffirait bien sûr de donner l'équivalence pour l'extensionnalité, mais il me semble plus naturel de passer en calcul des prédicats égalitaire. Peut-être est-ce même plus simple, pour un article introductif, d'avoir un calcul des prédicats à deux sortes d'objet, comme la version anglaise ?

pour la convention d'écriture des formules : ce n'est pas celle que j'utilise, je la trouve très maladroite : ces "," et "/" sont utilisée systématiquement donc peuvent aussi bien être omis, et la convention qui est que le quantificateur a une portée maximale me semble peu lisible. Maintenant ce n'est pas essentiel. Si je réécris, je ne compte pas la conserver.Proz 16 avril 2007 à 21:23 (CEST)

[modifier] NBG en théorie des catégories

Comment définit-on une catégorie à l'intérieur de NBG? Je m'explique : dans la théorie classique ZF une structure telle qu'un groupe peut être définie par un couple (G,+), une structure d'ordre par (E,≤), etc... ; mais une catégorie a des objets et des flèches ; Si O = Ob(C) et F = Fl(C) sont des classes propres au sens de NBG on ne peut pas écrire C=(O,F)={{O},{O,F}}. Cela voudrait-il dire que la catégorie C est une classe propre au sens de NBG, compartimentée en deux sous-classes (propres) O et F ? D'autre part j'ai lu dans la littérature Web que NBG n'était pas suffisante pour les catégories et qu'il fallait Morse-Kelley ou une certaine chose appelée axiome de Grothendieck (plutôt indigeste d'après ce que j'en connais). Quelle est votre idée là-dessus ? - Michel421 11 novembre 2007 à 13:50 (CET)

Je n'y connais pas grand chose en catégories, dans NBG on peut parler plus formellement de classes propres, et donc effectivement définir des structures à partir de classes propres (une classe et une classe de couples par ex.). Mais il n'est pas question de dire que NBG permet de développer tout ce dont on a besoin en théorie des catégories (je ne crois pas que l'article le laisse entendre, mais sinon il faut le corriger). NBG est "de la même force" que ZFC, (plus expressif surtout si on est formaliste, mais une autre façon de formuler les mêmes choses sur le fond), Morse-Kelley est plus forte voir en:Morse-Kelley set theory, l'axiome de Grothendieck, si je comprends bien en:Grothendieck universe, ça doit être l'existence d'un cardinal fortement inaccessible au dessus de tout cardinal, ça s'exprime "à la" ZFC, c'est beaucoup plus fort bien sûr. Proz 11 novembre 2007 à 17:05 (CET)

[modifier] ref. à Gödel et autre modifs récentes

C'est un peu curieux de parler de "l'ouvrage original" de Gödel, puisque la théorie a été formalisée avant lui par von Neuman est Bernays. Je ne sais pas, d'ailleurs, si c'est von Neuman ou Bernays qui a donné une axiomatisation finie. Dans Bernays (très lisible de mémoire) elle y est en tout cas, et donc forcément l'axiomatisation finie du schéma de compréhension pour les classes, avec le même genre d'astuces (ca ne change rien d'avoir un ou deux types d'objet pour cet aspect des choses). En fait il y a forcément des variantes, le choix des axiomes dans cette partie n'a rien d'intrinsèque. Je ne suis pas sûr que ça mérite d'être relevé.

Sinon je ne suis pas sûr de comprendre pas la remarque ajoutée : ce qui est un meta-theorème, c'est bien le schéma de théorème considéré comme un théorème ? La démonstration utilise clairement une récurrence dans la meta-théorie. Est-ce que c'est ça la remarque ? Que dit exactement Gödel ? Proz (d) 11 mars 2008 à 01:53 (CET)

Autre point : je ne vois pas pourquoi l'axiome intitulé nouvellement produit s'appelle ainsi. Le fait que seuls 5 axiomes sur 7 aient un titre est un peu gênant. Les 4 premiers, reflètent la structure des formules, les 3 derniers sont assez ad hoc. Celui qui est appelé maintenant produit, n'est pas appelé ainsi ensuite dans la démo. qui suit. En fait ces axiomes n'ont pas trop besoin de nom (sauf pour y faire référence juste dans la démo. qui suit, mais elle n'a pas été modifiée, on peut y critiquer les références aux axiomes qui me semblent explicites, mais dans un style assez informel). Pour la suite c'est le schéma de compréhension pour les classes qui sera utile. Quel est le but des ses modifications ? (des commentaires dans les boites de modif seraient utiles pour suivre). Proz (d) 11 mars 2008 à 02:16 (CET)

Les noms des axiomes sont ceux donnés par Gödel dans The consistency of the continuum hypothesis ; à propos de l'axiome B5 il écrit : "....B5 axiom of the direct product, because it provides essentially for the existence of VxA, V being the universal class". A propos du théorème M1 il écrit :"The general existence theorem is a metatheorem, that is, a theorem about the system, not in the system, and merely indicates, once and for all, how the formal derivation would proceed in the system for any given ppf". Quant aux 3 derniers axiomes, il les appelle axiomes d'inversion, on pourrait les appeller premier et deuxième axiome d'inversion, mais dans le bouquin il y en a trois. Cordialement --Michel421 (d) 12 mars 2008 à 19:55 (CET)

Merci, mais je ne comprends pas la notation VxA. Proz (d) 12 mars 2008 à 20:31 (CET)

VxA est le produit cartésien de la classe universelle notée V, par la classe A ; comme je vois il suffisait de donner un axiome du produit cartésien de deux classes bon, on n'est pas là pour faire du travail original .

J'ai remplacé "version originale" par "version de Gödel". Ce que j'ai vu aussi c'est que l'axiome D (fondation) et l'axiome E (choix) sont des axiomes concernant les classes en général alors que cet article les limite aux ensembles. Mais on n'est peut-être pas obligé de suivre servilement Gödel ; quoi qu'il en soit je te laisse faire.--Michel421 (d) 12 mars 2008 à 21:02 (CET)

Il y avait une version préexistente pas très correcte, j'ai traduit servilement les axiomes de ZF, sinon j'ai consulté Bernays et Mendelsohn mais quasiment pas Gödel (juste pour vérifier le style de l'axiomatisation). Pour la fondation ça ne change rien (s'il y a une classe mal fondée il y a un ensemble mal fondé). Pour le choix, il faut voir mais c'est peut-être le principe du choix, auquel cas c'est une théorie plus forte (ceci dit on prend bien maintenant pour NBG cette théorie). Pour l'axiome du produit par la classe universelle (je n'y étais pas du tout) : c'est juste celui dont on a besoin, et il est plus simple en fait que le produit cartésien de deux classes quelconques. Proz (d) 12 mars 2008 à 21:53 (CET)

Si c'est la première composante c'est AxV (chez Gödel c'est la seconde composante qui est dans A). L'axiome E fournit une fonction de choix dont le domaine est V.

J'ai mis le nom "axiomes d'inversion" pour les 2 derniers axiomes. Il aurait été plus exact de les baptiser "permutation circulaire" et "transposition" mais il vaut autant ne pas introduire de nouveautés wikipédiennes. --Michel421 (d) 15 mars 2008 à 12:06 (CET)

Gödel (note 5 p.7 de The consistency of the continuum hypothesis ) signale que dans la théorie de Bernays publiée dans Journal of symbolic logic 2, 65 il n'y a pas d'égalité entre les classes et les ensembles ayant les mêmes éléments.--Michel421 (d) 15 mars 2008 à 12:39 (CET)

C'est dit explicitement dans l'article : Bernays utilise un calcul des prédicats à 2 types d'objet, donc pas d'égalité formelle, un ensemble a 2 représentants (mais c'est du détail syntaxique, rien d'essentiel).

Pour les noms : j'avais préféré ne pas en mettre. Le seul avantage que je vois, c'est de reprendre la démonstration qui suit en utilisant ces noms pour faciliter la lecture. Il faut juste préciser qu'il n'y a pas de dénomination officielle pour ces axiomes qui sont assez ad hoc. Je vais rendre un peu plus explicite la preuve.

Axiome du choix : c'est forcément une classe fonctionnelle dont le domaine est V sauf l'ensemble vide, et qui choisit un élément dans chaque ensemble non vide, auquel cas c'est le principe du choix (qui a pour conséquence par séparation l'axiome du choix). Gödel doit effectivement démontrer la cohérence relative avec ajout du principe du choix (ce qui est "mieux" qu'avec ajout de l'axiome du choix). Proz (d) 15 mars 2008 à 15:50 (CET)

La remarque de Gödel (note 5 p.7 ...) peut se mettre en note à la toute fin du paragraphe classe et ensemble, je mettrai juste voir note 5 p 7 ..., mais il y a peut-être un commentaire de Gödel à ajouter ? Proz (d) 16 mars 2008 à 17:17 (CET)

La note 5 dit : The most important differences between Σ and the system of P. Bernays [Journ. Symb. Log. 2,65] are :

1. Bernays does not identify sets and classes having the same extension.

2. Bernays assumes a further axiom requiring the existence of the class of all {x}, which allows B7 and B8 to be replaced by one axiom.

Axiom D is essentially due to v. Neumann [cf. J. reine angew. Math 160, p.231, Axiom VI 4], whose formulation however is more complicated, because his system has other primitive terms. The concise formulation used in the text is due to P. Bernays.

B7 et B8 sont les deux axiomes de permutation de triplets ; D est l'axiome de fondation. Je ne sais pas quels autres termes Von Neumann avait mis comme primitifs. J'ai vu quelque part dans la littérature Web que son concept de base était celui de fonction.--Michel421 (d) 19 mars 2008 à 01:03 (CET)

J'ai lu ça aussi, mais je ne sais plus où. Il me semble également que von Neumann a donné plusieurs versions (?). Proz (d) 19 mars 2008 à 09:47 (CET)