Discuter:Théorie des catégories

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Sommaire 1 Liste des choses à rajouter 2 Discussions sur le contenu actuel 3 L'art pour l'art, ou bien... 4 Théorie des catégories ? 5 Catégorie des catégories

[modifier] Liste des choses à rajouter

• une intoduction

• foncteurs
• équivalences de catégories
• lemme de Yoneda
• transformations naturelles
• problèmes universels (qui donnent des propriétés universelles).

• objets finaux
• objets initiaux
• limites projectives
• limites inductives

[modifier] Discussions sur le contenu actuel

Je viens de découvrir wikipedia (grâce à une rubrique France-info...) , et une des premières page que je regarde est la page matéematiques, et là je trouve un sujet qui m'interresse "théorie des categorie", en plus il semble que la page soit écrite par un *Snark que je connais bien... Si, si... Venons-en au sujet :

il semble que l'un des but de la théorie en question soit de repousser un peu plus loin que la théorie axiomatique des ensembles les fondements des mathématiques. Je vais donc un peu chipoter sur le début (je sais que Snark adore chipoter...).

-sur le concept d'objets j'imagine qu'on se base sur la notion "intuïtive" prise comme notion première cf. "... objets bien distincts de notre perception et de notre entendement..." de la définition de Kantor

-ne pourrait-on pas définir une flèche à partir d'un triplet ordonné (f,A,B), f désignant le nom et A et B les extrémités, un couple étant défini par (x,y) = {{x},{x,y}}

comme on le fait en théorie des graphes ?

-le mot loi me gène un peu, et j'y préfèrerais le mot règle : en effet "loi de composition" désigne généralement une application d'un produit cartésien dans un ensemble, alors que le mot règle qui est un synonyme proche qui désigne généralement un axiome logique à vérifier, qui ici serait :

et que la règle est que pour tout triplet d'objets de la catégorie il exite une loi de composition , cette règle étant pseudo-associative...

Sans parler de les intégrer à l'article, est-ce que ces points sont recevables?

Pouvez-vous aussi m'indiquer des sources sur ce sujet, en francais si ca existe... Merci

Question plus générale l'abscence de sources (références) sur les articles de wikipedia est-elle volontaire ou à la discrétion de ceux qui rédigent ?

--Pdm 23 jan 2005 à 13:59 (CET)

FvdP, je suis très content de ta relecture (c'est le premier retour sur cet article!), et de la plupart de tes corrections; l'une me gêne:

Les exemples précédents ont une propriété en commun: les flèches sont toujours des applications, et les objets des ensembles (ce sont des catégories concrètes); voici quelques exemples de catégories plus exotiques:

j'avais mis défaut commun, parce que justement ce ne sont pas des catégories super-représentatives, et notamment le second exemple, qui mène aux faisceaux, est fondamental. Donc l'adjectif exotique ne me plaît pas non plus. Je ne sais pas ce que c'est que cette histoire de catégorie concrète... mais je ne connais pas tout, il est vrai...

Snark 21:17 fév 5, 2003 (CET)

"défaut" est excessif à mon sens: la "non-représentativité" de ces catégories n'est un défaut que dans le cadre très restreint de cet article. Pour "exotique", je veux bien qu'on l'enlève. Catégorie concrète = catégorie C avec foncteur fidèle U vers la catégorie des ensembles. (Et donc, chaque object et chaque morphisme est représentable par un ensemble et une fonction ordinaire, "concrets".) FvdP 23 mar 2004 à 19:13 (CET)

Bonjour Snark, pourrais-tu m'expliquer pourquoi l'objet de tous les ensemble n'est pas un ensemble. J'ai passé en revue tous les axiomes et je n'ai pas vu de contradiction. Sinon félicitation pour l'article il est très bien. --YapaTi 23 mar 2004 à 17:47 (CET)

Voir théorie des ensembles... On ne peut accepter de construire naïvement des ensembles du type "l'ensemble de tous les ensembles" sous peine de tomber dans des contradictions genre "l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes". Les solutions généralement admists à ce genre de problème ont comme conséquences que "l'ensemble de tous les ensembles" n'est pas un ensemble à proprement parler. En théorie des catégories on se base (en général) sur l'approche de (je ne sais plus qui) qui distingue entre classe et ensemble. "classe" est +/- synonyme de "ensemble qui peut être gros". Dans ce cadre "la classe de tous les ensembles" existe de même que "la classe de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes" mais aucune de ces deux classes n'est un ensemble. FvdP 23 mar 2004 à 19:05 (CET)

Aussi est-ce qu'on entend par application une fonction surjective ou simplement une fonction??--YapaTi 23 mar 2004 à 17:50 (CET)

Simplement une fonction. FvdP

[modifier] L'art pour l'art, ou bien...

Je pense que l'art pour l'art véritable est très rare en maths, mais que de nombreux développements, parfois très abstraits, servent en interne à permettre de faire évoluer la discipline et à ouvrir la voie sur de nouveaux concepts qui eux serviront peut-être à résoudre des problèmes, éventuellement concrets. Il n'y a qu'à voir l'arsenal utilisé par Wiles pour faire tomber la conjecture de Fermat...

--Pdm 23 jan 2005 à 14:12 (CET)

... ou bien peut-on avoir une idée de ce à quoi ça sert, comme cela a été fait pour les complexes, les graphes, etc. ? 195.132.56.13 16 sep 2004 à 22:26 (CEST)

[modifier] Théorie des catégories ?

La "Théorie des catégories" est totalement inconnue de bien des mathématiciens (tels que moi).

Il manque avant tout une bonne introduction : Il faut la présenter d'abord "avec les mains" (pour palier à l'hermetisme de cette page), la situer au sein de la mathématique (pour gommer l'impression "d'electron libre"), et souligner sa pertinence, son utilité, son apport ...

Il manque également au moins un ouvrage de référence.

En définitive, cette article est un « abstract nonsense » (au sens de Grothendieck), et sa discussion est bien plus instructive !   <User:STyx wikipédien

Tout a fait, en pratique, c'est surtout quand on touche a de l'algèbre homolique que l'on voit les cathégories, et que l'on comprend en quoi cela peut-être utile.

Après il y a deux manière de les voires: - Comme un language pour dire en peut de mots ce qui prend des plombes (en terme de foncteur dérivé par exemple). - En tant que tel.

[modifier] Catégorie des catégories

Une partie de la phrase d'introduction m'échappe : « ...abstraction faite des objets qui possèdent ces structures ». Que faut-il y comprendre ? Qu'il n'existe pas de « Catégorie des catégories » ? Pourtant, si mes souvenirs sont exacts, cette catégorie existe et c'est bien la différence avec la théorie des ensembles. Je crois qu'il existe de même la « catégorie des foncteurs ». Merci de m'expliquer le sens de cette demi-phrase. LyricV (d) 26 décembre 2007 à 15:53 (CET)

Article légèrement modifié dans ce sens. LyricV (d) 11 janvier 2008 à 20:39 (CET)

Ça va faire 9 ans que la catégorie des catégories a eu son paradoxe de Russell. Résultat non homologué il est vrai (encore que je sois loin d'avoir lu tous les articles peer-reviewés sur ce sujet).--Michel421 (d) 14 avril 2008 à 15:40 (CEST)