Discuter:Théorème de Cantor
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[modifier] Doute sur le contenu
Que Cantor ai démontré que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable, c'est un fait indéniable. Que cette propriété s'appelle le théorème de Cantor est plus douteux.
Il me semble que le théorème de Cantor stipule que, pour tout ensemble E le cardinal de E est toujours strictement inférieur au cardinal de P(E): ensemble des parties de E.
Je corrige donc en conséquence. HB 5 janvier 2006 à 12:51 (CET)
- Oui, c'est moi qui avais créé cet article après avoir vu ça en cours, mais je l'ai laissé à l'état d'ébauche afin que quelqu'un de plus compétent que moi vienne le corriger et l'améliorer, ce qui est maintenant chose faite. Mon prof de maths avait montré (mais je ne me rappelle plus la démonstration) que R n'est pas dénombrable et avait dit au passage que c'était un théorème découvert par Cantor. Peut-être a-t-il parlé de théorème pour simplifier les choses, mais ça m'a semblé bien différent du théorème de Cantor-Bernstein, donc je me suis dit qu'il s'agissait bien d'un autre théorème de Cantor, même si ce n'est en réalité qu'un cas particulier. PieRRoMaN ¤ Λογος 5 janvier 2006 à 16:41 (CET)
- oui, c'est l'argument de la diagonale de Cantor HB 5 janvier 2006 à 17:32 (CET)
Je ne suis pas encore familiarisé avec cette théorie mais n'y a t'il pas un problème pour la construction de B? Etons sur de pouvoir le creer? Est ce ici qu'intervient l'actiome du choix?
[modifier] Reformulation
L'exposé de la preuve pourrait être simplifié en prenant directement la réciproque de la fonction f de l'article actuel (il suffit de montrer directement qu'il n'existe pas de surjection de A dans P(A)). Proz (d) 16 mai 2008 à 21:00 (CEST)
- Un peu simplifié certes mais par déplacement de pb : en effet la relation d'ordre sur les cardinaux se fait, il me semble, par l'existence d'une injection : card(A) est inférieur ou égal à cardinal de B si et seulement si il existe une injection de A vers B. Donc, en théorie, il faudrait vérifier que l'existence d'une injection de A vers B induit l'existence d'une surjection de B vers A. J'éprouve beaucoup de méfiance sur l'existence des injections et des surjections sur des ensembles infinis qui fait parfois appel à l'axiome du choix. Il me semble que dans ce cas, l'implication est vraie sans axiome du choix., mais il faudrait le prouver ou renvoyer vers un article qui le prouve. D'autre part, j'ai oublié mes sources mais il me semble que la dem de Cantor utilisait l'injection. Cependant, si tu penses que changer la dem améliorerait la lisibilité de l'article surtout n'hésite pas. HB (d) 18 mai 2008 à 09:29 (CEST)
S'il existe une injection de B (non vide) dans A, il existe une surjection de A dans B sans AC (il suffit de compléter arbitrairement pour la réciproque en envoyant sur un même élément), donc pas de problème (c'est la réciproque qui équivaut à AC). Par ailleurs l'ordre strict peut se définir aussi par il existe une injection et pas de bijection. Pour ce qui est de Cantor, j'ajoute la référence à l'article, et je compte en dire qulques mots. Il traite deux exemples (N et [0,1]) par les fonctions caractéristiques, et affirme que ça se généralise. autant que je comprenne (ma compréhension de l'allemand est très limitée), il montre qu'une fonction de N dans P(N) ne peut être surjective dernière alinea de la p 278), ce qui me semble le plus direct. Ceci dit, c'est pour la lisibilité, pas le respect de l'original, qui n'est vraiment pas forcément la bonne méthode d'exposition. Proz (d) 19 mai 2008 à 11:36 (CEST)
J'ai commencé. Les deux derniers paragraphes ne sont pas finis. J'en ai profité pour virer le gothique (un peu démodé). On peut donner quelques exemples d'ensembles diagonaux pour des ensembles simples (finis ou N) ? Proz (d) 19 mai 2008 à 21:42 (CEST)
