Discuter:Théorème de Borel-Lebesgue

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Sommaire

[modifier] explication

je trouve que ce qui est marqué est pas faut mais un peut limité par rapport au vrai théorème que j'ai ajouté au début de l'article.
Par contre cette présentation fait un peu tache. (Rq: j'ai pris mon énoncé dans mon cours de prépa)--Sylvain d'Altaïr 12 mai 2006 à 21:55 (CEST)

[modifier] à propos de l'autre approche

c'est pas moi qui ai écrit cette partie de l'article, je me permet pourtant de la critiquer: je pense que c'est plutot le Théorème de Bolzano-Weierstrass qui est présenté--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 19:31 (CEST)

il y a un imbroglio, et le problème est que les choix faits par les programmes officiels actuels des classes prépas compliquent l'affaire. J'essaie de clarifier
il y a une propriété (ou axiome) de Borel Lebesgue "de tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini"
il y a une propriété (ou axiome) de Bolzano-Weierstrass "toute suite admet une sous-suite convergente"
les compacts sont définis en toute généralité comme des espaces topologiques séparés vérifiant l'axiome de Borel Lebesgue (en français du moins, en anglais on enlève séparé).
dans le cadre des espaces métriques (qui sont des espaces topologiques séparés), on démontre que l'espace est compact ssi il vérifie la prop de Bolzano-W (qui n'est donc qu'une propriété des compacts) : c'est le théorème 1
le théorème 2 c'est que les segments de R sont compacts, puis les compacts de R^n sont les fermés bornés
moi j'appelle le théorème le théorème 1 "Bolzano Weierstrass" et le 2 "Borel Lebesgue", mais j'ai l'impression que c'est très fluctuant. Le bouquin Ramis/Deschamps/Odoux est d'accord avec moi. D'autres avis ? Peps 13 mai 2006 à 17:45 (CEST)
dans mon cours de prépa (pour Borel-Lebesgue: l'encien programme) le théorème que j'ai marqué au début de l'article est appelé théorème de Borel-Lebesgue, et le théorème de Bolzano-Weierstrass est "toutes suite bornée d'une espace vectorielde dimension finie sur R ou C admet au moins une valeur d'adhérence".--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 19:41 (CEST)
est que quelqu'un sais ce que dit le Bourbaki?--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 20:20 (CEST)

[modifier] Confusions

En topologie abstraite, la définition d'un compact est : espace séparé et satisfaisant la propriété du recouvrement, dite propriété de Borel-Lebesgue. Cette définition est générale et ne fait aucune hypothèse sur la nature de la topologie.

Lorsque on spécialise aux espaces métriques on obtient Bolzano-Weierstrass : un ensemble est compact ssi toute suite a une valeur d'adhérence (la partie si n'est vraie que dans les espaces métriques). Le théorème de Borel-Lebesgue (que les anglais attribue à Heine-Borel) quant à lui parle des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie et établit l'équivalence entre compact et fermé borné.

La situation est un peu compliquée par le fait que beaucoup d'auteurs traitant de topologie dans les espaces métriques ou vectoriels de dimension finie préfèrent prendre les caractérisations alternatives comme définition première de compact car elles ce sont elles en pratique que l'on utilise. Toujours est il que Bolzano-Weierstrass parle de suites et Borel-Lebesgue de fermés bornés.

Bref tel que c'est écrit dans l'article le théorème 1 n'est pas Borel-Lebesgue mais plutôt Bolzano-Weierstrass et je pense qu'il serait bon de remettre en tête le chapitre improprement réintitulé une autre approche.

Laurent de Marseille 23 mai 2006 à 19:36 (CEST)

Encore une précision : après une rapide enquête il ne semble pas y avoir un théorème de Borel-Lebesgue dont l'énoncé serait universellement accepté. Il y a une propriété de Borel-Lebesgue qui est la propriété des recouvrements et d'autre part un théorème classique que certains appellent théorème de Borel-Lebesgue (mais pas les anglo-saxons qui l'appelle Heine-Borel) et qui établit l'équivalence entre compacts et fermés bornés dans les ev de dimension finis.
Laurent de Marseille 23 mai 2006 à 19:45 (CEST)
Ca rejoint mes remarques. Je vais essayer de modifier un peu les choses en redistribuant le contenu de ces articles Peps 23 mai 2006 à 21:11 (CEST)
Ben oui tiens, j'aurais été bien inspiré de mieux lire la discussion qui précédait, ça m'aurait évité de te paraphraser.
Laurent de Marseille 25 mai 2006 à 12:31 (CEST)

[modifier] Résolution de "confusions"

J'ai, suite aux discussions ci-dessus, fait un mouvement de chaises musicales entre

J'espère ne pas m'être emmêlé les pinceaux car modifier 4 pages à la fois n'est pas très pratique... Peps 23 mai 2006 à 22:27 (CEST)

Ça me semble très bien comme ça. Le seul problème est qu'il y a beaucoup de redites entre les différentes pages traitant de compact, mais c'est un problème récurrent sur wikipedia.
Laurent de Marseille 25 mai 2006 à 12:35 (CEST)


Personnellement, sans vouloir blesser personne, je trouve que tout cela reste très confus. Quelqu'un qui recherche le théorème de borel-lebesgue va bien etre surpris de toute ces considérations... Je pense que plutot que de chercher à mettre des titres pompeux, il vaudrait mieux mettre définition topologique d'un compact, définition d'un compact dans un espace métrique (et dans cette partie, on y mettrais simplement lien avec la définition topologique et en remarque -tout cela n'étant que du détail- théorème appelé de borel-lebesgue ou bolzano comme ca l'est actuellement). d'ailleurs, si on relis la démonstration, le sens réciproque n'est pas bien explicité (à la première lecture on ne sait pas où l'on utilise l'hypothèse, où sont les lemmes, etc.) et dans le sens direct il manque un mot qui éclaircirait d'un coup la démonstration pour un lecteur peu avisé de toute ces notions topologiques... ABSURDE. Ce n'est pas du tout évident de savoir quoi mettre dans une démonstration surtout quand cela dépend du niveau en mathématiques mais par exemple des petits détails mais qui rebutent : pourquoi parler de fermeture (ce qui est clairement le cas si on est rigoureux) quand on peut parler d'adhérence, notion qui est beaucoup plus familière et qui est équivalente en topologie (au moins le faire remarquer).
Jérém 2 novembre 2006 à 12:35 (CEST)

[modifier] Compacts et fermés, axiome du choix?

J'atterris ici venant de la page sur les espaces compacts, où je suis allé pour trouver la démonstration de compact => fermé. J'ai eu l'impression au milieu de cette démonstration on utilisait implicitement l'axiome du choix. J'ai aussi eu l'impression qu'en formulant autrement, on pouvait facilement s'en passer.

Bon, je m'explique. Le passage où ça me semble utiliser l'axiome du choix, c'est:

Pour chaque point a de A, il existe alors un ouvert Oa contenant a et un ouvert Ba contenant b tel que leurs intersection est vide, car l'espace est séparé. L'ensemble des Oa...

Si au lieu de choisir un Oa pour chaque a on décide de prendre démocratiquement, pour chaque a, tous les Oa, il me semble que le reste de la démonstration fonctionne à l'identique. Ça peut sembler moins économe, puisqu'on s'encombre de beaucoup de Oa, mais on économise aussi de devoir choisir et aussi l'axiome qui permet de faire ce choix.

Je dis des bêtises?

David Olivier 6 janvier 2007 à 00:34 (CET)