Tessarine

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, les tessarines sont une idée introduite par James Cockle en 1848. La notion inclus à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes fendus. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2

\begin{pmatrix} w & z \\ z & w\end{pmatrix},

où w et z peuvent être des nombres complexes quelconques.

Sommaire

[modifier] Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres

[modifier] Nombres complexes

Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

[modifier] Nombres complexes fendus

Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe fendu, w + j z. La tessarine particulière

j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle d'appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif et associative de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

[modifier] Quaternion / octonion / sédénion coniques, nombres bicomplexes

Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

w :=~a + ib\,

z :=~c + id\,

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques a + bi + c \varepsilon + d i_0\,, de base \{ 1,~i,~\varepsilon ,~i_0 \}\,, avec les identités suivantes :

1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad \varepsilon \equiv \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad i_0 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base \{ 1,~i_1, i_2, j \} si une identité :

1 \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i_1 \equiv \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad i_2 \equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad j \equiv \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Lorsque w et z sont à la fois des quaternions (de base \{ 1,~i_1,~i_2,~i_3 \}\,), alors l'algèbre t est isomorphe aux octonions coniques; permettant les octonions pour w et z (de base \{ 1,~i_1, ..., ~i_7 \}\,), l'algèbre résultante est identique aux sédénions coniques.

[modifier] Propriétés algébriques

Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau quaternionique commutatif et associatif (bien que les quaternions ne sont pas commutatifs). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de j \equiv \varepsilon\,, qui est une racine non réelle de 1 (voir les quaternions coniques pour les exemples et les références). Ils ne forment pas un corps à cause des éléments idempotents

\begin{pmatrix} z & \pm z \\ \pm z & z \end{pmatrix} \equiv z (1 \pm j) \equiv z (1 \pm \varepsilon)\,

a son déterminant / module 0 et par conséquent ne peut pas être inversé multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

\begin{pmatrix} z & z \\ z & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & -z \\ -z & z \end{pmatrix} \equiv z^2 (1 + j )(1 - j) \equiv z^2 (1 + \varepsilon )(1 - \varepsilon) = 0.

Les quaternions forment un anneau inversible sans diviseurs de zéro, et peut aussi être représenté par des matrices de forme 2 x 2.

[modifier] Références

  • James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
    • 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
    • 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
    • 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
    • 1850 On Impossible Equations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
    • 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.
Autres langues