Techniques de calcul mental

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Avant d'exposer les différentes techniques de calcul mental, il est essentiel de souligner que ces techniques ne sont pas naturelles et ne transforment pas quelqu'un qui ne sait pas compter en une calculatrice humaine en un clin d'œil ; il faut pour se les approprier s'entraîner, et les pratiquer régulièrement.

Sommaire

1 Calcul d'une somme : a + b + c + d ...
2 Calcul d'une différence : a – b
- 2.1 Calcul direct
- 2.2 Remodeler les entiers
3 Calcul d'un produit : a × b
4 Calcul d'un quotient : a ÷ b
5 Calcul approximatif (Ordre de grandeur)
6 Calcul approché
7 Calcul approximatif d'une racine carrée
8 Calcul exact d'une racine carrée
9 Bibliographie
10 Voir aussi

[modifier] Calcul d'une somme : a + b + c + d ...

Wikibooks propose un ouvrage abordant ce sujet : Faire une addition à la main.

L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:

1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327

[modifier] Calcul d'une différence : a – b

[modifier] Calcul direct

Lorsque l'on est placé dans le cas très favorable où les chiffres de b sont tous plus petits que les chiffres de a, on peut se contenter de raisonner chiffre à chiffre : 872 – 41 se calcule ainsi en retranchant 1 au chiffre des unités, et 4 à celui des dizaines : 831

[modifier] Remodeler les entiers

Lorsque l'on ne se trouve pas dans une situation favorable, il y a a priori une retenue ; il faut alors ruser, et pour cela, on va calculer autre chose que ce que l'on veut :

si seul un chiffre gêne, on va le diminuer autant que nécessaire pour qu'il ne soit plus gênant, calculer, puis enfin se concentrer sur la difficulté que l'on a contournée ; par exemple, 872 – 91 peut se calculer ainsi : 872 – 71 = 801, et il reste 20 à enlever ; ce qui se fait directement : 781.
si plusieurs chiffres gênent : b a de trop gros chiffres par rapport à a, on va préférer trouver de combien augmenter b pour obtenir a ; par exemple, 8192 – 732 : 8 pour aller à 740, 60 pour aller à 800, 200 pour arriver à 1000, puis 192 pour arriver à 1192, et enfin 7000 pour arriver à 8192, soit au final: 8192 – 732 = 7460.
on peut aussi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction : $872 - 91 = 881 - 100 = 781$ (on a ajouté 9). $8192 - 732 = 8160 - 700 = 7460$ (on a enlevé 32).

[modifier] Calcul d'un produit : a × b

Wikibooks propose un ouvrage abordant ce sujet : Faire une multiplication à la main.

[modifier] Multiplier par 10

Une multiplication par 10 consiste uniquement à rajouter un 0 à droite du nombre ; c'est donc une opération très élémentaire (s'il s'agit d'un nombre décimal, on décale la virgule d'une position vers la droite).

[modifier] Multiplier par 2

C'est un cas particulier de multiplication, où l'on peut quasiment travailler chiffre à chiffre ; ce n'est pas tout à fait le cas car on peut avoir une retenue, mais si retenue il y a, c'est forcément 1, ce qui simplifie malgré tout les choses. Il faut néanmoins calculer de droite à gauche : 2 × 167 est donné par un 4 avec retenue, plus un 2 (donc 3) avec retenue, plus un 2 (donc 3), soit 334.

[modifier] Multiplication par 5

Il s'agit d'une multiplication par 10 suivie d'une division par 2 ; donc pour multiplier par 5, il suffit de savoir diviser par 2 ! Il faut lire le nombre de gauche à droite, et diviser les chiffres par 2, en ajoutant éventuellement 5 au chiffre suivant si le chiffre qu'on a divisé était impair (après l'avoir divisé). Par exemple : 176 × 5 = 1760 ÷ 2, donc 0, 5 + 3, 5 + 3 et 0, soit : 880.

[modifier] Multiplication par 9

Il suffit de remarquer que 9 = 10 – 1, donc pour multiplier par 9, il suffit de multiplier le nombre par 10, et de le soustraire au résultat ; par exemple, 9 × 27 = 270 – 27 = 243. Il faut donc savoir soustraire…

Autre technique : avec les doigts de la main. On place ses deux mains face a soi et on replie le doigt que l'on veut multiplier par 9.

exemple : 9 x 4; on replie le 4^e doigt en partant de gauche. il reste 3 doigts à gauche et 6 à droite

9 x 4 = 36

9 x 7 ; on plie le 7^e doigt et on a 6 et 3

9 x 7 = 63

[modifier] Multiplication : {6 – 10} × {6 – 10}

Cette technique permet de multiplier un nombre entre 6 et 10 par un autre entre 6 et 10.

Cette technique utilise les dix doigts des deux mains, face à face :

-10-- -10--
--9-- --9--
--8-- --8--
--7-- --7--
--6-- --6--

Deux exemples :

9 × 6

haut :

      -10--
      --9--
      --8--
-10-- --7--
bas :
--9-- --6--
--8-- 
--7-- 
--6--

- 5 doigts en bas font 5 dizaines - 4 doigts en haut à droite - 1 doigt en haut à gauche

résultat : 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54

6 × 8

haut :

-10--
--9-- 
--8-- -10--
--7-- --9--

bas :

--6-- --8--
      --7--
      --6--

- 4 doigts en bas font 4 dizaines - 2 doigts en haut à droite - 4 doigts en haut à gauche

résultat : 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48

Le fonctionnement : chaque doigt représente un chiffre (entre 6 et 10), on joint les deux doigts dont on veut multiplier les chiffres correspondants (x et y). Les doigts en bas indiquent les dizaines, on en a (x – 5) + (y – 5) ; les doigts à gauche en haut indiquent (10 – x) et ceux à droite en haut (10 – x).

Et :
  [(x – 5) + (y – 5)] × 10 + (10 – x) × (10 – y)
= (x + y - 10) × 10 + (100 - 10y - 10x + x × y) 
= 10x + 10y - 100 + 100 - 10y - 10x + x × y
= x × y

[modifier] Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités

Pour calculer un tel carré, il suffit de calculer le produit du nombre qu'on forme en effaçant ce chiffre « 5 » par le nombre entier suivant et de faire suivre l'écriture obtenue des deux chiffres « 25 ». Par exemple pour calculer 85², on calcule le produit 8 × 9 = 72 et on trouve ainsi que 85² = 7 225.

[modifier] Multiplication d'un nombre par 11

[modifier] Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 11

Une astuce consiste à faire la somme du premier chiffre avec le second, puis de l'ajouter entre les deux si la somme est inférieure à 10. Ainsi 17 × 11 = 187; 35 × 11 = 385, etc. Si la somme est supérieure à 10, on place le chiffre des unités de la somme entre les deux chiffres et on ajoute 1 aux centaines. Exemples : 58 × 11 = 638; 93 × 11 = 1023, etc.

[modifier] Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 11

La technique est à peu près la même que pour les nombres à deux chiffres.

On garde le premier chiffre,
On ajoute juste après la somme des 2 premiers chiffres qui doit être inférieure à 10,
On ajoute la somme des 2 derniers chiffres qui doit être inférieure à 10,
On ajoute enfin le dernier chiffre.

Ainsi on a 123 x 11 = 1353, avec le premier chiffre 1, suivi de 3 (1+2 =3), puis 5 (2+3=5), puis le dernier chiffre 3.

Deuxième technique avec toujours le nombre 123:

1)On conserve toujours le premier chiffre et le dernier chiffre (c'est à dire le 1 et le 3) du nombre 123 qui maintiendrons leur place initiale pour le résultat final.

2)On garde les deux premiers chiffres (12)du nombre 123 et les deux derniers chiffres (23) du nombre 123 pour les additionner: 12+23=35

3)Résultat final donne le 1 3 et on ajoute au milieu la somme qu'on a trouvé ci dessus(35)cela donne 1353 donc 123 x 11 = 1353

Remarque cet exemple n'est pas trop différent du premier mais ceux qui préfèrent additionner en vertical qu'en horizontal(linéaire) seront ravis. Mais il faut être à l'aise avec les additions à deux chiffres.

Si une des deux additions donne un résultat supérieur à 10, il est plus facile de commencer à l'envers :

On garde le dernier chiffre,
On ajoute juste avant la somme des 2 derniers chiffres,
On ajoute aussi avant la somme des 2 premiers chiffres incrémentée de 1 si l'opération 2 a donné un résultat supérieur à 10.
On ajoute enfin le premier chiffre incrémenté de 1 si l'opération 3 a donné un résultat supérieur à 10.

[modifier] Modulo 11 d'un nombre à 3 chiffres

Voici une technique pour calculer le modulo 11 d'un nombre à trois chiffres:

On additionne le premier et le dernier chiffre,
On soustrait le chiffre central du résultat de l'opération précédente,
Si le résultat de la soustraction est positif, on a le modulo, s'il est négatif, on lui ajoute 11 pour avoir le modulo.

Exemples:

652 modulo 11: 6 + 2 - 5 = 3
183 module 11: 1 + 3 - 8 = -4, -4 + 11 = 7

[modifier] Multiplication : {10 – 19} × {10 – 19}

Pour multiplier les deux nombres, la technique est la suivante :

on additionne le premier nombre et les unités du deuxième nombre puis on ajoute un zéro (on multiplie par 10)
on additionne au nombre obtenu le produit des unités des deux nombres

Exemple avec 17 × 18 :

17 + 8 = 25 , on ajoute 0, ce qui donne 250
7 × 8 = 56 et 250 + 56 = 306, donc 17 × 18 = 306

Exemple avec 14 × 17 :

14 + 7 = 21, on ajoute 0, ce qui donne 210
4 × 7 = 28 et 210 + 28 = 238, donc 14 × 17 = 238

Démonstration :

soient A et B deux nombres entre 10 et 19
on note a et b deux chiffres (entre 0 et 9) tel que A = 10 + a et B = 10 + b
on cherche le résultat de A×B, qui s'écrit également (10 + a)×(10 + b)
en développant, on obtient : 10×10 + 10×a + 10×b + a×b
en regroupant un peu, on obtient 10×(10 + a + b) + a×b
donc 10×(A + b) + a×b

[modifier] Utiliser les carrés

On peut utiliser les carrés des entiers, pour calculer des produits pour les petits nombres ; par exemple, pour calculer 13 × 17, on peut remarquer que l'on est en train de calculer (15 – 2) × (15 + 2), donc 15² – 2², d'après l'une des identités remarquables, c'est-à-dire 225 – 4 = 221, ce qui donne le résultat très rapidement, puisque l'opération devient une simple soustraction.

Cela demande néanmoins de connaître par cœur un certain nombre de carrés :

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361

Il faut néanmoins remarquer que si on ne connaît que certains de ces carrés, les identités remarquables permettent de calculer les autres facilement…

[modifier] Remodeler les entiers

Le calcul à effectuer ne fait pas forcément intervenir des nombres qui se prêtent aux techniques précédentes, néanmoins, on peut forcer le passage de diverses manières :

décaler le problème : pour calculer 13 × 18, on regrette de ne pas avoir à calculer 13 × 17, où l'on dispose de la technique des carrés : il suffit de voir 13 × 18 comme 13 × 17 + 13, et on a : 225 – 4 + 13 = 234 ;
factoriser version 1 : pour calculer 27 × 72, il suffit de se débarrasser des multiplications par 2 (faciles) qui sont cachées derrière : 72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 2 × 9, donc il suffit de calculer 27 × 9 puis multiplier par 2 trois fois de suite :

27 × 9 = 243, puis 243 × 2 = 486, 486 × 2 = 972, et finalement 972 × 2 = 1944.

factoriser version 2 : pour calculer 13 × 18, on factorise une fois et on obtient 10 × 18 + 3 × 18 puis on recommence pour chaque multiplication

10 × 18 = 10 × 10 + 10 × 8 = 100 + 80 = 180 et 3 × 18 = 3 × 10 + 3 × 8 = 30 + 24 = 54 ; au final on a 180 + 54 = 234 (cette technique nécessite uniquement d'avoir de la mémoire et marche pour n'importe quel type de multiplication).

[modifier] Multiplication croisée

Cette technique est très répandue dans les compétitions de calcul mental. En voici un exemple d'utilisation :

Soit à multiplier 8397 par 5621. On écrit les deux nombres l'un au dessus de l'autre.

La première colonne montre un schéma correspondant à l'étape de calcul. La seconde colonne montre le calcul correspondant. La troisième colonne indique le nombre posé (écrit) et la quatrième colonne montre la retenue.

Calcul	Posé	Retenu
$(7\times1) = 7$	7	0
$(9 \times 1) + (7 \times 2) + 0= 23$	3	2
$(3 \times 1) + (9 \times 2) + (7 \times 6) + 2 = 65$	5	6
$(8 \times 1) + (3 \times 2) + (9 \times 6) + (7 \times 5) + 6 = 109$	9	10
$(8 \times 2) + (3 \times 6) + (9 \times 5) + 10 = 89$	9	8
$(8 \times 6) + (3 \times 5) + 8 = 71$	1	7
$(8 \times 5) + 7 = 47$	7	4

Remarque : dans les étapes de calcul, la retenue peut parfois être supérieure à 9.

On écrit la dernière retenue puis tous les résultats posés dans l'ordre inverse de celui où ils ont été calculés : soit : 4, 7, 1, 9, 9, 5, 3, 7. $8397 \times 5621 = 47199537$ .

[modifier] Vérifier son résultat

[modifier] Ordre de grandeur

Si en multipliant deux nombres plus petits que 100 on trouve plus de 10 000, il y a assurément un problème ! Ces considérations sont très empiriques et ne repèrent que les erreurs grossières, mais c'est la méthode la plus rapide. Ainsi la relativité, art complexe s'il en est, est là pour nous raisonner.

[modifier] Chiffre des unités

Si vous multipliez les chiffres des unités de a et b, le chiffre des unités du résultat est le chiffre des unités de a × b ; exemple : 27 × 72 doit finir par un 4. Cette vérification permet de vérifier un chiffre avec certitude.

[modifier] Calcul d'un quotient : a ÷ b

Pour calculer un quotient, on peut diviser le dividende et le diviseur par le même nombre :

$18\div12=3\div2=1,5$ (on a simplifié par 6)
$35\div15=7\div3=2+\frac{1}{3}=2,33\cdots$ (on a simplifié par 5)

[modifier] Calcul approximatif (Ordre de grandeur)

Commencer les produits par la partie gauche et simplifier : 117 × 34 = ?

100 × 30 + r₁ = 3000 + r₁ (négliger le reste r₁)
un peu mieux
- 100 × 30 + 20 × 30 + r₂ = 3000 + 600 + r₂ = 3600 + r₂
- 100 × 30 + r₁ = 3600 + r₂
encore mieux
- 120 × 34 + r₃ = 100 × 30 + 20 × 30 + 120 × 4 + r₃ = 3000 + 600 + 480 + r₃ = 4080 + r₃
Finalement
- 117 × 34 = 100 × 30 + 20 × 30 + 120 × 4 – 3 × 30 – 3 × 4
- 117 × 34 = 3000 + 600 + 480 - 90 - 12
- 117 × 34 = 3978 (simple)
Les restes se précisent au fur et à mesure : |r₁| > |r₂| > |r₃|. Où |x| est la valeur absolue de x, c'est-à-dire x en valeur positive.
D'où 117 × 34 est :
- en première évaluation proche de 3000
- en deuxième évaluation proche de 3600
- en troisième évaluation proche de 4080
- en quatrième évaluation proche de 3990
- finalement égal à 3978

Toutes les méthodes exposées dans l'article peuvent se combiner.

117 × 34 ≠ 120 × 35 = 120 × 70 ÷ 2 = 60 × 70 = 4200

[modifier] Calcul approché

La connaissance du développement limité d'une fonction au voisinage d'un point (0 en particulier) permet de calculer des valeurs approchées.

Exemple: $\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^n x^i + o(x)$ donc $\frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03$ car $0,97 = 1 - 0,03$ , en considérant que 0,03 est proche de zéro. On peut affiner le calcul : $\frac{1}{0,97} \approx 1 + 0,03 + 0,03^2$ , soit 1,0309.

[modifier] Calcul approximatif d'une racine carrée

Cette technique permet d'obtenir environ trois bonnes décimales par opération. On doit savoir que (a – b)² = a² – 2ab + b² Il suffit de choisir un b tellement petit que le terme b² est négligeable. Par exemple, si on a la racine de 15 à calculer, on sait que la racine de 16 est 4. On doit prendre un b qui fait que (4 – b)² = 15 ou presque. Puisque (4 – b)² = 16 – 2 × 4 × b environ, on prend b = (16 – 15) ÷ (2 × 4), c'est-à-dire 1/8 ou 0,125. La racine carrée de 15 vaut donc environ 4 – 0,125 ou 3,875. Si on veut plus de précision, on recommence. Puisque notre 4 initial était à notre choix, on peut recommencer avec 3,88 au lieu, si on trouve que 3,875 est trop précis. Nous avons donc (3,88 – b)² = 15. b = (3,88² - 15) ÷ (2 × 3,88) = (15,054 – 15) ÷ (7,76) = environ 0,054 ÷ 8 donc environ 0,00675. La racine de 15 est maintenant évaluée à 3,88 – 0,00675 ou 3,87325. La valeur donnée par une calculatrice est 3,8730.

[modifier] Calcul exact d'une racine carrée

Cette technique permet d'obtenir autant de décimales que nécessaire, en combinant additions et soustractions. Le procédé est itératif et présente l'avantage de fournir un chiffre exact de la racine à chaque itération.

Explication (et exemple avec le calcul de la racine de 5337) :

séparer le nombre dont on extrait la racine, en groupes de 2 chiffres en partant de la droite (5337 donne 53 | 37 , 00 …) ;
prendre la tranche la plus à gauche et lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, tant que le résultat obtenu est positif (ici : 53 -1-3-5-7-9-11-13 = 4) ;
le nombre de soustractions effectuées fournit le premier chiffre de la racine (ici 7) ;
accoler au résultat partiel des précédentes soustractions, le groupement de chiffres suivant (ici 4 et 37 => 437) ;
lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, en partant du dernier nombre soustrait, incrémenté et accolé de 1, tant que le résultat obtenu est positif (437 - ((13 + 1)1 => 141) - 143 - 145 = 8) ;
le nombre de soustractions effectuées fournit le second chiffre de la racine (3) ;
réitérer le processus afin d'augmenter la précision du résultat obtenu… (800 - ((145+1)1 => 1461) négatif).
Attention, au cas où il n'est pas possible d'effectuer la moindre soustraction sans obtenir un résultat négatif, pour pouvoir continuer le procédé, il faut accoler le groupe de chiffres suivant, mais, pour obtenir les nombres à soustraire, il faut remplacer le dernier 1 par 0 et accoler ensuite un autre 1. (80 000 - ((1461-1)1 => 14 601) - 14 603 - 14 605 - 14 607 - 14 609 = 6975).

Ainsi en première approximation, il est possible de trouver que la racine de 5337 est 73,05.

[modifier] Bibliographie

René Taton, Le calcul mental (1953), Presses universitaires de France, coll. Que sais-je ?
Émile Fourrey, Récréations arithmétiques (1933), éd. Vuibert

[modifier] Voir aussi

Méthode Trachtenberg
S'initier au boulier en 10 leçons : Une fois assimilée la technique manuelle du calcul sur boulier, on peut visualiser un boulier, et faire les calculs de tête
TuXmath un petit jeu (libre) de calcul mental
Calculateur prodige

Catégorie : Calcul mental

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Sommaire

[modifier] Calcul d'une somme : a + b + c + d ...

[modifier] Calcul d'une différence : a – b

[modifier] Calcul direct

[modifier] Remodeler les entiers

[modifier] Calcul d'un produit : a × b

[modifier] Multiplier par 10

[modifier] Multiplier par 2

[modifier] Multiplication par 5

[modifier] Multiplication par 9

[modifier] Multiplication : {6 – 10} × {6 – 10}

[modifier] Calcul du carré d'un entier ayant « 5 » comme chiffre des unités

[modifier] Multiplication d'un nombre par 11

[modifier] Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 11

[modifier] Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 11

[modifier] Modulo 11 d'un nombre à 3 chiffres

[modifier] Multiplication : {10 – 19} × {10 – 19}

[modifier] Utiliser les carrés

[modifier] Remodeler les entiers

[modifier] Multiplication croisée

[modifier] Vérifier son résultat

[modifier] Ordre de grandeur

[modifier] Chiffre des unités

[modifier] Calcul d'un quotient : a ÷ b

[modifier] Calcul approximatif (Ordre de grandeur)

[modifier] Calcul approché

[modifier] Calcul approximatif d'une racine carrée

[modifier] Calcul exact d'une racine carrée

[modifier] Bibliographie

[modifier] Voir aussi

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