Symbole de Jacobi

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Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Charles Gustave Jacob Jacobi.

[modifier] Définition

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre du dessous. Sa définition est la suivante :

Soit n un entier impair supérieur à 2 et n = $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ la décomposition de n en facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, le symbole de Jacobi $\left(\frac{a}{n}\right)$ vaut : $\left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}$

[modifier] Propriétés du symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi possède de très nombreuses propriétés :

Si n est premier, le symbole de Jacobi et le symbole de Legendre sont équivalents,
$\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}$
$\left(\frac{a}{n}\right) = 0$ si et seulement si a et n ne sont pas premiers entre eux,
$\left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right)$ si n est impair.
si a ≡ b (mod n) alors $\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right)$ si n est impair.
$\left(\frac{1}{n}\right) = 1$
$\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}\right)}$ vaut 1 si n ≡ 1 (mod 4) et −1 si n ≡ 3 (mod 4)
$\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)}$ vaut 1 si n ≡ 1 (mod 8) ou n ≡ 7 (mod 8) et −1 si n ≡ 3 (mod 8) ou n ≡ 5 (mod 8)
$\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\left(\frac{m-1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}\right)}$ si m et n sont impairs, autrement dit $\left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)$ sauf si m et n sont tous deux congrus à -1 (mod 4) auquel cas $\left(\frac{m}{n}\right) = -\left(\frac{n}{m}\right)$

La dernière propriété est une généralisation de la loi de réciprocité quadratique utilisant le symbole de Legendre.

[modifier] Résidus

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi. Cependant, si $\left(\frac{a}{n}\right) = -1$ alors a n'est pas un résidu quadratique de n puisque a n'est le résidu quadratique d'un des p_k divisant n.

Dans le cas où $\left(\frac{a}{n}\right) = 1$ , il est impossible de dire si a est un résidu quadratique de n. Puisque le symbole de Jacobi est un produit de symboles de Legendre, il y a des cas où deux symboles de Legendre sont égaux à −1 et le symbole de Jacobi est égal à 1.