Surface implicite

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Une surface implicite est la surface de niveau d'une fonction différentiable f définie un ouvert de R³.

[modifier] Exemples

• L'exemple le plus élémentaire est sans nul doute l'exemple des plans affines. Si l est une forme linéaire sur R³, alors est une application différentiable et tout réel est une valeur régulière de l. Pour r donné, {l = r} est une surface implicite de R³.

• Autre exemple élémentaire, si q est une forme quadratique non dégénérée de R³, alors toute valeur non nulle est une valeur régulière de q :
  • Si q est définie positive, alors pour r < 0, la surface implicite {q = r} est vide ; et pour r > 0, {q = r} est une sphère.
  • Si q est non définie, de signature (2,1), la surface implicite {q = r} est un hyperboloïde à une ou deux nappes suivant le signe de r.

• La trompette de Gabriel est définie par la relation implicite :

(x² + y²)z² = a⁴ avec a non nul.

La trompette de Gabriel est une surface de révolution.