Suite de Lucas

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En mathématiques, une suite de Lucas est une généralisation de la suite de Fibonacci et des nombres de Lucas. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas.

Sommaire

[modifier] Relations de récurrence

Soient deux entiers donnés P et Q qui satisfont

P^2 - 4Q > 0\,

les suites de Lucas U(P,Q)\, et V(P,Q)\, sont définies par les relations de récurrence linéaire

U_0(P,Q) = 0\,
U_1(P,Q) = 1\,
U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,

et

V_0(P,Q)=2\,
V_1(P,Q)=P\,
V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,

[modifier] Terme général

Selon la méthode de calcul sur des suites à récurrence linéaire, il suffit de chercher les racines du polynôme caractéristique

x^2 - Px + Q = 0\,

Puisque P2 − 4Q > 0, ce polynôme possède deux racines qui sont a et b. Alors U(P,Q)\, et V(P,Q)\, peuvent aussi être définies en fonction de a et b par

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{P^2-4Q}}\,
V_n(P,Q)=a^n+b^n\,

à partir desquelles nous pouvons extraire les relations

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}\,
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt{P^2-4Q}}{2}\,

[modifier] Autres relations

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont aux relations qui sont analogues à celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

U_n = \frac{-Q.V_{n-1} + V_{n+1}}{P^2-4Q}\,
V_n = -Q.U_{n-1} + U_{n+1}\,
U_{2n} = U_n V_n\,
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n\,

[modifier] Cas particuliers

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

U_n(1,-1)\, est appelée suite de Fibonacci, et ses valeurs sont les nombres de Fibonacci.
V_n(1,-1)\, est une suite de Lucas, dont les valeurs sont les nombres de Lucas.
U_n(2,-1)\, est appelée suite de Pell et ses valeurs sont les nombres de Pell.
U_n(1,-2)\, est appelée suite de Jacobsthal et ses valeurs sont les nombres de Jacobsthal.

[modifier] Applications