Discuter:Suite de Cauchy

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je cite :<<...Un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge est dit complet. L'ensemble des nombres réels est complet...>>

Soit la suite Un définie par: $U n = ln(n)$

comme la dérivée de ln(x) est 1/x, il est évident que pour tout réel \varepsilon>0, il existe un entier naturel N tel que pour tous entiers $p,q\geq N$ , la distance d(Up,Uq) soit inférieure à $\varepsilon$ . Donc $U n$ est une suite de Cauchy. De plus, Un tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, donc Un ne converge pas. Donc, l'ensemble des nombres réels n'est pas complet.

Me trompe-je?

oui en disant "il est évident que pour tout réel $\varepsilon>0$ , il existe un entier naturel N tel que pour tous entiers $p,q\geq N$ , la distance

d (U p, U q)

soit inférieure à $\varepsilon$ ". Si je prends p=N alors $d(u_p,u_q)=\mid\ln (N)-ln(q)\mid$ tend vers l'infini avec q, donc n'est pas inférieur à epsilon pour tout q>N. Je ne sais pas comment tu avais utilisé ta dérivée (TAF ?), mais ce calcul direct montre bien que la suite n'est pas de Cauchy. Peps 14 octobre 2006 à 10:54 (CEST)

[modifier] Refonte

J'ai fait une refonte de l'article aujourd'hui que je poursuivrai dans les prochains jours. Voici un début de plan que je propose (et que j'ai commencé à adapter) :

Dans les espaces métriques
- Définition
- Propriétés
- Exemples
- Approche non standard
Dans les espaces uniformes
- Définitions (note : avec spécialisations dans les groupes topologiques et les evtlcs)
- Propriétés

(Je ne mets pas pour l'instant d'approche non standard dans les espaces uniformes ; je n'ai jamais rien lu sur le sujet.)

(Evidemment, il pourrait manquer des renseignements des suites de réels qui sont de Cauchy. Je ne sais pas comment faire sans éviter des redites... Help?)

Ekto - Plastor 27 février 2007 à 19:18 (CET)

J'ai lu ça un peu vite, le plan d'ensemble me paraît bien, sauf peut être la déf initiale où l'on dit trop de choses d'un coup. Je propose de l'éclater et de la disséminer.

Notamment cette phrase

"Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace"

est facile à piger pour quelqu'un qui sait déjà ce dont il s'agit, mais l'exemple de ln (n) ci dessus montre que ce n'est pas si simple à appréhender.

Je mettrais résolument la déf dans le cadre des scalaires d'abord, avec deux exemples typiques

- approche de racine de deux

- suite genre ln (n) ou racine (n) : pour tout p, l'écart u_{n+p}-u_n tend vers 0 et pourtant elle n'est pas de Cauchy

Et puis après seulement la déf espace métrique

Ensuite, la problématique "espace complet" (et première idée de la complétion) j'en ferais carrément un paragraphe après la rubrique "propriété". Histoire qu'on ait déjà vu l'implication cvgente => Cauchy

bref c'est un avis (après lecture rapide) Peps 27 février 2007 à 21:15 (CET)

Je prends note. Le mieux d'ajouter un paragraphe Pour les réels.

Ekto - Plastor 27 février 2007 à 22:42 (CET)

après tout ils le méritent bien, les rééls et les suites de Cauchy c'est une belle histoire Peps 27 février 2007 à 22:47 (CET)

Le genre d'histoire où on attend de voir la suite !