Spirale logarithmique de Newton

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La spirale logarithmique de Newton est l'un des premiers cas où les spirales logarithmiques interviennent en dynamique.

Isaac Newton, très féru de cette courbe, beaucoup étudiée au XVII^e siècle, a remarqué qu'en présence d'une résistance de l'air de masse volumique inversement proportionnelle à la distance OM = r, un mouvement possible dans un champ central en 1/ r^n, était une spirale logarithmique (propositions XV, XVI, et XVII des Principia).

Cette curiosité historique était tombée dans l'oubli ; en 1973, deux chercheurs l'ont "retrouvée".

Sommaire

1 Mise en équations
2 Discussion énergétique
3 Viriel et conservation de l'énergie
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Sources

[modifier] Mise en équations

Il est rare que les problèmes de dynamique s'intègrent. La solution donnée par Newton n'est évidemment pas la solution générale ; mais c'est une solution.

Soit $O M = r$ . Soit R le rayon de courbure, on a $R = \frac{r}{sin A}$ .

Soit $g(r) = -\frac{k}{r^n}$ l'accélération centrale.

Soit $-\frac {Dv^2}{r}$ la résistance de l'air selon la tangente.

Dans le trièdre de Frenet, le Principe Fondamental de la Dynamique s'écrit :

$\frac{v^2}{R} = \frac{v^2}{r}cosA = g.cosA$ . Soit $v 2 = g . r$ (1)
$\frac{dv}{dt} = -D \frac{v^2}{r} + g.sinA = g (sinA - D)$ (2)

On va profiter du fait que $\frac{dr}{dt} = - v.sinA$ (3) que l'on reporte dans la relation (1) différentiée logarithmiquement :

$2\frac{dv}{dt} = g(n-1)sinA$

Comparée à (2), cela donne $2 g (s i n A - D) = g (n - 1) s i n A$ , qui est identiquement vérifiée si et seulement si :

$2 D = (3 - n) s i n A$

ce qui donne la valeur de l'angle A de la spirale.

Remarque : le problème peut aussi se résoudre en utilisant l'accélération de Siacci, car la podaire de la spirale est semblable à la spirale.

Remarque : la transmutation de la force de Newton donne aussi solution de ce problème.

[modifier] Discussion énergétique

On retrouve tous les résultats du satellite "circulaire" légèrement freiné, si n = 2 $s i n A = 2 D$ et $\frac{dv}{dt} = - Frein + 2.Frein = Frein$ : un satellite freiné accélère exactement selon la loi opposée à l'intuition ( paradoxe du frottement), mais c'est bien ce que donne la conservation de la puissance : $Frein.v = - \frac{dEnergie}{dt} = v\frac{dv}{dt}$

Bien sûr, r diminue ( il faut bien que l'énergie potentielle diminue , 2 fois plus vite que l'énergie cinétique n'augmente).

Le cas n = 3 ne doit pas surprendre : la spirale logarithmique est solution du problème de force centrale $-\frac{k}{r^3}$ .

[modifier] Viriel et conservation de l'énergie

La solution pour n différent de 2 se décline mot pour mot en changeant 2 par n : le théorème du viriel et la conservation de la puissance redonnent des résultats similaires